Коммутант

[Kras]

Доказать, что коммутант является нормальной подгруппой. Идей нет. Есть определения:
1) $aba^{-1}b^{-1}$ называют коммутатором $a$ и $b$
2) $K(G)$ - это множество произведений коммутаторов

Легко доказать, что коммутант - это подгруппа:
а) $aea^{-1}e^{-1}=e \Rightarrow e^{2}\in K(G) \Rightarrow e\in K(G)$
Следствие из а): любой коммутатор принадлежит $K(G)$
б) Пусть $s$ и $t$ - два коммутатора, тогда по определению 2) $st\in K(G)$
в) $(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}$, значит обратный элемент тоже принадлежит $K(G)$

Но почему именно нормальной подгруппой? Идей по-прежнему нет.

[patzer2097]

$gxg^{-1}=\left(gxg^{-1}x^{-1}\right)x$

[Kras]

patzer2097, по-моему это гениально. Спасибо.