Матрица якоби, дифференцируемость.

[Otta]

Tosha в сообщении #1018552 писал(а):

$f'_x=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0-1}{h}=\infty=f'_y$

Что это вдруг?

[Tosha]

Во втором случае $f(x)=\|x\|,\=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}$

$f'_x=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}$

Получается, что предел справа $+1$, слева $-1$. Потому предела не существует. Верно?

-- 22.05.2015, 23:48 --

Otta в сообщении #1018553 писал(а):

Tosha в сообщении #1018552 писал(а):

$f'_x=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0-1}{h}=\infty=f'_y$

Что это вдруг?

А почему неправильно? Тут же частная производная по определению.

[Otta]

Второй случай верно, да. Для размерности два. Ну, неважно.

-- 23.05.2015, 01:49 --

Tosha в сообщении #1018556 писал(а):

А почему неправильно?

Потому что $f(h,0)$ не такое.

[Tosha]

ТОчно, должно быть так, спасибо:

$f'_x=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1-1}{h}=0=f'_y$[/quote]

[Otta]

Окей, нате еще.
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2y}{x^2+y^2},&\text{ если }(x,y)\ne(0,0);\\0,&\text{ если }x=y=0;.\end{cases}$

[Tosha]

Otta в сообщении #1018601 писал(а):

Окей, нате еще.
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2y}{x^2+y^2},&\text{ если }(x,y)\ne(0,0);\\0,&\text{ если }x=y=0;.\end{cases}$

В начале координат получилось $f'_x=\lim \dfrac{0}{h}=0$.

Верно?

[Otta]

Результат верен, решение - не знаю. Ну а дифференцируемость в нуле есть, не?

[Tosha]

Otta в сообщении #1018639 писал(а):

Результат верен, решение - не знаю. Ну а дифференцируемость в нуле есть, не?

Есть, потому как функция еще и непрерывна там (значение предела совпадает со значением функции в начале координат).
А эта функция, насколько я понимаю, недифференцируема, потому как имеет разрыв в начале координат

$f(x,y)=\begin{cases}1,&\text{ если }xy=0;\\0,&\text{иначе}\end{cases}$
Проверить дифференцируемость в начале координат.

[Otta]

Tosha в сообщении #1018723 писал(а):

Есть, потому как функция еще и непрерывна там (значение предела совпадает со значением функции в начале координат).

Из непрерывности дифференцируемость не следует.