2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл
Сообщение20.05.2015, 12:45 
Каким образом вычислять такой интеграл:

$\displaystyle\int\dfrac{x+1}{(ax^2+bx+c)\sqrt{kx^2+lx+m}}\cdot dx$

Может способ вычисления зависит от конкретных значений параметров. Но при каких как именно вычисляется. Я так понял, что нужно выделить полные квадраты у квадратных трехчленов.

Вот так $ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$

Аналогично со вторым трехчленом. Это когда старшие коэф. не равны нулю. Если они равны нулю, то тогда другой подход нужен.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение20.05.2015, 12:49 
Аватара пользователя
Этот вопрос хорошо разобран в пособии "Виноградова, Олехник, Садовничий, Математический анализ в задачах и упражнениях, ч.1". Еще полезно полистать 2-й том трехтомного учебника Фихтенгольца.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение20.05.2015, 12:56 
И в задачниках Кудрявцева не менее хорошо.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение20.05.2015, 20:54 
Он вобще везде разобран, где есть хоть какое-то интегрирование. Параграф обычно называется интегрирование некоторых иррациональных выражений.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение21.05.2015, 13:02 
Спасибо, почитал. А можете подсказать в случае такого интеграла?

$\displaystyle\int\dfrac{x+1}{(2x^2-6x+5)\sqrt{10x^2-38x+37}}\cdot dx$

Я пробовал сделать дробно-линейную подстановку $t=\dfrac{\alpha+\beta t}{1+t}$

Хотел подобрать $\beta$ и $\alpha$ так, чтобы занулить коэфициенты при $t$

Получилась система:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 4\alpha\beta-6\beta-6\alpha+10=0 \\
 20\alpha\beta-38\beta-38\alpha+74=0\\
\end{array}
\right.$

Эта система имеет очень кривые корни $\beta=\dfrac{9\pm \sqrt{33}}{6}$ (альфу не стал искать).

Видно есть способ попроще. Может подскажете?

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение21.05.2015, 13:07 
Аватара пользователя
never-sleep в сообщении #1018154 писал(а):
Я пробовал сделать дробно-линейную подстановку $t=\dfrac{\alpha+\beta t}{1+t}$

Странная подстановка, где же старая переменная? :shock:

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение21.05.2015, 13:11 
Вторая идея $10x^2-38x+37=10(x-1,9)^2-1,8$

Тогда при замене $x=t+1,9$ интеграл перепишется в виде $\int \dfrac{t+2,9}{(2t^2+1,6+0,82)\sqrt{10t^2-1,8}}dt$

-- 21.05.2015, 13:12 --

Brukvalub в сообщении #1018155 писал(а):
never-sleep в сообщении #1018154 писал(а):
Я пробовал сделать дробно-линейную подстановку $t=\dfrac{\alpha+\beta t}{1+t}$

Странная подстановка, где же старая переменная? :shock:

Извиняюсь, $x=\dfrac{\alpha+\beta t}{1+t}$

-- 21.05.2015, 13:16 --

Первым способом я хотел по этой схеме пройтись http://imgur.com/a/oNNCr. Но она очень длинная, а тут уже иррациональные числа получились, что отпугивает сразу

-- 21.05.2015, 13:23 --

В Фихтенгольце по этой теме нашел только вот этот кусок + подстановки Эйлера.

Изображение

В Кудрявцеве подстановки Эйлера тоже нашел только. Но разве тут они могут помочь?

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение21.05.2015, 13:27 
Аватара пользователя
Вы уже спрашивали общий случай этого интеграла в начале темы. Чтобы подставить циферки в общий случай и получить частный, ничего не нужно. Что Вам не нравится в этом подходе? Что ответ получается громоздкий? Значит, теперь такие стали на фабрике делать. Любой другой будет либо примерно такой же, либо неправильный.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение21.05.2015, 14:50 
Спасибо! Понятно.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group