Тензор момента импульса

[fronnya]

Началась тензорная алгебра, просто интересно попробовать выразить эту величину в индексных обозначениях. Пусть мы находимся в ортонормированном базисе ${\vec{e}_i},i=\overline{1,3}$.

$$\vec{L}=\int{[\vec{r}\vec{v}]dm}$$

$$[\vec{r}\vec{v}]=\vec{e}_i \epsilon_{ijk} r_j v_k$$

$$L_i=\int{\vec{e}_i \epsilon_{ijk} r_j v_k dm}$$

$v_k$ можно представить как векторное произведение $\omega$ на $r$: $v_k=\vec{e}_k\epsilon_{klm}\omega_l r_m$, тогда

$$L_i=\int{(\vec{e}_i \vec{e}_k) \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} \omega_l r_m r_j dm}$$

Чую ошибку где-то..

[Cos(x-pi/2)]

Из правой стороны трёх последних равенств надо убрать орты.

Внимательнее следите за индексами. Ведь если в левой стороне Вы пишете "свободный" (т.е. одиночный) индекс, то и в правой стороне вашей формулы такой индекс должен быть одиночным. По "немым" индексам, т.е. по дважды повторяющимся, подразумевается суммирование. А трёхкратно (и более) повторяющихся индексов (как, например, трёхкратный индекс $k$ в правой стороне вашей последней формулы) - вовсе не должно быть.

[fronnya]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1018092 писал(а):

Из правой стороны трёх последних равенств надо убрать орты.

Это потому что мы рассматриваем компоненты?

[amon]

fronnya в сообщении #1018094 писал(а):

Это потому что мы рассматриваем компоненты?

Да!

[fronnya]

Исправил, вот, что получилось

$$L_i=\omega_l \int{\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} r_j r_m dm}$$

-- 21.05.2015, 02:40 --

Получается отсюда тензор инерции

$$I_{il} =\int{\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} r_j r_m dm}$$

[amon]

Осталось воспользоваться формулой

$$ \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmk}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl} $$

и получится то, что сразу получается с помощью БАЦ-ЦАП ;)

[Oleg Zubelevich]

это все ради того чтоб расписать в координатах формулу $\overline K_O=J_O\overline \omega$?

[fronnya]

Oleg Zubelevich в сообщении #1018117 писал(а):

это все ради того чтоб расписать в координатах формулу $\overline K_O=J_O\overline \omega$?

Ну да. А что такое ?

-- 21.05.2015, 14:15 --

amon в сообщении #1018097 писал(а):

Осталось воспользоваться формулой

$$ \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmk}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl} $$

и получится то, что сразу получается с помощью БАЦ-ЦАП ;)

Ага, все, вопросов больше нет, спасибо