многочлен шестой степени,группа Галуа

[kotopes]

Здравствуйте! Есть элемент $\sqrt{\alpha+\sqrt[3]{\beta}}$, где $\alpha,\beta\in K$.Строю его минимальный многочлен-$f=x^6-3\alpha x^4+3\alpha^2x^2-\alpha^3-\beta$.Хочу понять при каких условиях группы Галуа будут $S_{4}\times Z_2$, а когда $A_{4}\times Z_2$.

[Lia]

kotopes

(Так это выглядит при цитировании)

kotopes в сообщении #1017005 писал(а):

$S_{4}\times$Z_2

$$, а когда $A_{4}\times$Z_2$$

.

Один доллар в начале, один доллар в конце. Больше не надо.
И Ваши соображения хотелось бы услышать.

[Brukvalub]

kotopes в сообщении #1017005 писал(а):

Здравствуйте! Есть элемент $\sqrt{\alpha+\sqrt[3]{\beta}}$, где $\alpha,\beta\in K$.Строю его минимальный многочлен-$f=x^6-3\alpha x^4+3\alpha^2x^2-\alpha^3-\beta$.Хочу понять при каких условиях группы Галуа будут $S_{4}\times Z_2$, а когда $A_{4}\times Z_2$.

Странно все это выглядит... Если $K=R , \alpha=2 , \beta=8 $ , то разве таким будет минимальный многочлен?

[kotopes]

Случаи,при которых $\beta$ является кубом или подкоренное выражение квадратом исключим,в них все очевидно.

[VAL]

kotopes в сообщении #1017005 писал(а):

Здравствуйте! Есть элемент $\sqrt{\alpha+\sqrt[3]{\beta}}$, где $\alpha,\beta\in K$.Строю его минимальный многочлен-$f=x^6-3\alpha x^4+3\alpha^2x^2-\alpha^3-\beta$.Хочу понять при каких условиях группы Галуа будут $S_{4}\times Z_2$, а когда $A_{4}\times Z_2$.

Даже если исключить случаи точного куба и точного квадрата, все равно не обязаны получатся указанные Вами группы.
Например, при $\alpha=2, \beta=-2$ группа Галуа изоморфна группе диэдра $D_6$.

[kotopes]

Да,согласен.Тогда хотелось бы понять,каким соотношениям должны удовлетворять$\alpha,\beta$ для того,чтобы получались указанные мной? группы?

[kotopes]

Я имел ввиду и тот случай, когда подкоренное выражение квадрат в $K(\sqrt[3]\beta)$

[AV_77]

Ваши группы не транзитивны, стало быть многочлен приводим.

[VAL]

AV_77 в сообщении #1018054 писал(а):

Ваши группы не транзитивны, стало быть многочлен приводим.

Взял конкретно $\alpha=2, \beta=5$. И многочлен $(x^6-6x^4+12x^2-13)$ неприводим, и группа транзитивна.
Что же до групп из первого сообщения, то, как я понял, ТС не пытался выписать конкретные группы подстановок, а рассматривал группы Галуа с точностью до изоморфизма.

[kotopes]

AV_77, а почему же они не транзитивны? Вы можете две орбиты предъявить?

-- 21.05.2015, 20:27 --

Просто совершенно не ясно, какой бы инвариант помог различать группы, которые могут получаться расширениями с помощью данного элемента.