Вообще я в этой теме не специалист, но смысл уравнений, вроде, понятен.
Здесь, похоже, используется такая модель. Есть две среды, «одномерные», с одной координатой
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
— глубиной (от других координат никакие величины не зависят и потому они в задаче не фигурируют). Среда 1 — промёрзший грунт, среда 2 — непромёрзший. Вся «фишка» задачи в том, что глубина границы раздела
![$S(t)$ $S(t)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/4/e44fde0f0070cfc63115cab89edb9c6d82.png)
, то есть глубина промерзания, зависит от времени. Грубо говоря, если становится теплее, граница поднимается, а если холоднее — опускается. Каждая среда характеризуется набором известных постоянных параметров:
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
—
удельная теплоёмкость (массовая),
![$\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{K}}$ $\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{K}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/3/5838d09a9c2b7ffb81d1f6133fe4ce9982.png)
;
![$\rho$ $\rho$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/e/6dec54c48a0438a5fcde6053bdb9d71282.png)
— плотность,
![$\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ $\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/b/dfb224c8c7c1db602374899112dce82982.png)
;
![$\lambda$ $\lambda$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/8/fd8be73b54f5436a5cd2e73ba9b6bfa982.png)
—
удельная теплопроводность,
![$\frac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot\text{K}}$ $\frac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot\text{K}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/2/b9281af3b90eeb409f1e8e8a44e4650282.png)
, она же коэффициент теплопроводности.
Кроме того, для описания перехода воды из твердого в жидкое состояние и обратно нужна ещё плотность воды
![$\rho_w$ $\rho_w$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/5/09551cc67262328d19e46e4ebd073b8082.png)
и её
удельная теплота плавления ![$q_w$ $q_w$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/9/699f67ed77e5d576a1c661be42f4456582.png)
,
![$\frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ $\frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/8/c88f5a26946f64f418fe11a2fcca3b9e82.png)
. Похоже, в программе ошибка, потому что по таблицам последняя величина равна
![$3.3477\cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ $3.3477\cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/7/8f72caafe245be254879e7524d14d79a82.png)
, а в программе
q_w=3.34*1000000, то есть в 10 раз больше.
В задаче рассматриваются глубины не до ядра Земли
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
, а только до некоторой глубины
![$\ell=50\text{м}$ $\ell=50\text{м}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/1/11177f8ebb07182d78388c43954af6a582.png)
. Вероятно, ниже этой глубины температура практически постоянна, независимо от времени года.
Помимо констант, в задаче имеется неизвестная функция — температура
![$T(x, t)$ $T(x, t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/5/b252f5e1e51a6e5cbc6c30335d57c4cc82.png)
, зависящая не только от координаты
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, но и от времени
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
. Собственно, в задаче и требуется найти зависимость
![$T(x, t)$ $T(x, t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/5/b252f5e1e51a6e5cbc6c30335d57c4cc82.png)
. Как известно, изменение распределения температуры в среде со временем подчиняется
уравнению теплопроводности. В Ваших обозначениях оно имеет вид
![$c\rho\frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$ $c\rho\frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/b/83b51b0ae23ef6282f951a422f0b27e782.png)
.
Уравнение, приведённое в Википедии, отличается от Вашего тем, что там 1) константы собраны в одну, 2) имеются дополнительные внутренние источники тепла и 3) рассматривается трехмерный случай.
![$c_1 \rho_1\frac{\partial T}{\partial t} = \lambda_1 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \quad 0<x<S(t)$ $c_1 \rho_1\frac{\partial T}{\partial t} = \lambda_1 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \quad 0<x<S(t)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/a/c4ad965a62594511e74c83da15c031f782.png)
Это уравнение теплопроводности для среды 1 (промёрзший грунт). Среда 1 имеет координаты от
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
(поверхность земли) до
![$S(t)$ $S(t)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/4/e44fde0f0070cfc63115cab89edb9c6d82.png)
(глубина промерзания в момент
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
).
![$c_2 \rho_2\frac{\partial T}{\partial t} = \lambda_2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} , \quad S(t)<x<\ell$ $c_2 \rho_2\frac{\partial T}{\partial t} = \lambda_2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} , \quad S(t)<x<\ell$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/2/862ba120a723286f616899ae6ec04ee282.png)
Это уравнение теплопроводности для среды 2 (непромёрзший грунт). Среда 2 имеет координаты от
![$S(t)$ $S(t)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/4/e44fde0f0070cfc63115cab89edb9c6d82.png)
до
![$\ell$ $\ell$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/0/d30a65b936d8007addc9c789d5a7ae4982.png)
(дальше не рассматриваем).
![$\lambda_1 \frac{\partial T}{\partial x} - \lambda_2 \frac{\partial T}{\partial x} = q_w \rho_w \frac{\partial S}{\partial t}$ $\lambda_1 \frac{\partial T}{\partial x} - \lambda_2 \frac{\partial T}{\partial x} = q_w \rho_w \frac{\partial S}{\partial t}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/6/1865c9f978bd15e72e979d68eace3fde82.png)
Это уравнение описывает смещение границы раздела сред со временем, то есть процесс промерзания и оттаивания грунта. В левой части стоит разность потоков тепла в обеих средах у границы раздела. Эта разница идёт на замораживание или размораживание грунта на границе раздела, что и приводит к смещению границы. По сути, это уравнение баланса энергии на границе. Тепловая энергия, необходимая для перевода 1 килограмма льда в жидкое состояние, известна — это
![$q_w$ $q_w$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/9/699f67ed77e5d576a1c661be42f4456582.png)
, а
![$\rho_w$ $\rho_w$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/5/09551cc67262328d19e46e4ebd073b8082.png)
позволяет пересчитать массу в объём.
![$\ell = 50 \text{м}$ $\ell = 50 \text{м}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/4/a64cd615caaeabceb7bed0d979cd283a82.png)
Выбрали такую предельную глубину, до которой рассматриваются процессы теплопередачи.
![$c_1 \rho_1 = 2 \cdot10^6, \lambda_1 = 2$ $c_1 \rho_1 = 2 \cdot10^6, \lambda_1 = 2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/5/ba5d1b36ed1c50dfa6fa90e63c6549ef82.png)
![$c_2 \rho_2 = 2 \cdot 10^6, \lambda_2 = 0,5$ $c_2 \rho_2 = 2 \cdot 10^6, \lambda_2 = 0,5$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/2/a028f282b501d4fb16c9b7c90a184f6f82.png)
Для каждой среды можно было вообще все константы перенести в правую часть и заменить их одним
коэффициентом температуропроводности:
![$\alpha=\frac{\lambda}{c\rho}$ $\alpha=\frac{\lambda}{c\rho}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/9/c39f3d6441f4017a788c663c0cae950682.png)
(как сделано в Википедии), тогда бы уравнения теплопроводности приняли вид
![$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$ $\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/1/b11e79fd5a7f73d7e800d8cd705359e582.png)
, где
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
в каждой из сред своё.
![$T_- = T_{\text{Ф}}=T_+, \quad\quad x=S(t)$ $T_- = T_{\text{Ф}}=T_+, \quad\quad x=S(t)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/6/ea688ba507f00ef6cf9cb8394e151d6f82.png)
На границе раздела сред
![$x = S(t)$ $x = S(t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/8/b48f11dac86aac826edf17535a5ccfa682.png)
температура сверху от границы
![$T_-$ $T_-$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/7/b17710722597bb66c688f522866b624282.png)
равна температуре снизу от границы
![$T_+$ $T_+$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/4/8c411e9543323e939ed62d3d9d4622a082.png)
, и обе совпадают с температурой фазового перехода лёд-вода
![$T_{\text{Ф}}$ $T_{\text{Ф}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/e/33e2ab4dec36fb1daff96c58ac7e3d4682.png)
.
В задаче заданы начальные и граничные условия.
![$T(x,0) = T^0(x), \quad\quad 0\leqslant x \leqslant l,\;\;t=0$ $T(x,0) = T^0(x), \quad\quad 0\leqslant x \leqslant l,\;\;t=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/5/cb58387bb18084d9ab112912344b67c682.png)
Начальная температура в момент времени
![$t=0$ $t=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/8/1c899e1c767eb4eac89facb5d1f2cb0d82.png)
в каждой точке из рассматриваемого диапазона координат равна заданной функции
![$T^0(x)$ $T^0(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/2962f94b5db112d9c38e24a0ba1134d182.png)
.
![$T(0,t) = T_1(t) = \sin(\pi a t),\quad\quad x=0,\;\;t>0$ $T(0,t) = T_1(t) = \sin(\pi a t),\quad\quad x=0,\;\;t>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/0/9f0bc7e88023cfe8c1f19e88c9358c6682.png)
Температура в точке
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
, т.е. на поверхности земли, в любой момент времени
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
равна заданной функции
![$T_1(t)=\sin(\pi at)$ $T_1(t)=\sin(\pi at)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/b/3eb62e9c865184768de0e5d1d9f40f2b82.png)
. Эта функция, вероятно, описывает годовые колебания температуры: один период синусоиды — один год. У Вас в функции было
![$\pi a x$ $\pi a x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/0/f203078359baec3260d950fa9588e3cb82.png)
, я исправил на
![$\pi a t$ $\pi a t$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/0/64060161943081e1c07178d02af51b3d82.png)
, здесь нужна зависимость от времени.
![$T(\ell,t) = T_H, \;\;\frac{\partial T}{\partial x}(\ell,t) = q, \quad\quad x=\ell,\;\;t>0$ $T(\ell,t) = T_H, \;\;\frac{\partial T}{\partial x}(\ell,t) = q, \quad\quad x=\ell,\;\;t>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/c/1ecc49a751556128f84a91be39c8c44582.png)
Температура и её производная по координате на нижней границе среды 2 в любой момент времени постоянны и заданы (на такой глубине погода уже не сказывается
![Smile :-)](./images/smilies/icon_smile.gif)
).