2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 13:48 
1. Может ли норма матрицы $E_{ij}$ (с единицей на месте $(i,j)$ и остальными нулями) быть меньше единицы? Для наиболее распространенных видов матричных норм ответ отрицательный, но как это показать в общем случае, не знаю.

2. Обобщение первого вопроса. Справедливо ли, что норма матрицы $A=\{a_{ij}\}$ всегда не меньше,
чем $\max\limits_{i,j}|a_{ij}|$?

Подскажите с ответом или подскажите литературу, где можно найти ответы на эти вопросы. Просмотрел по теории матриц Ланкастера и Гантмахера, но то, что надо, там найти не смог.

 
 
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 13:58 
Аватара пользователя
Dref в сообщении #1017165 писал(а):
Справедливо ли, что норма матрицы $A=\{a_{ij}\}$ всегда не меньше,
чем $\max\limits_{i,j}|a_{ij}|$?

Докажите, что умножение нормы на положительную константу превращает ее снова в норму, и вы сами ответите на свой вопрос.

 
 
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 14:17 
Извиняюсь, я имел ввиду мультипликативные нормы (со свойством $||AB||\leq ||A||||B||$). В случае умножения на константу, меньшую единицы, свойство мультипликативности может нарушаться.

 
 
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 15:07 
Спектральный радиус ( http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_radius ) не поможет? Это минимальная из мультипликативных норм, в каком-то смысле. Так, конечно, нельзя говорить --- это вообще не норма, но он оценивает снизу любую мультипликативную норму.

 
 
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 17:07 
Ну, спектральный радиус - это, ведь, не точная нижняя граница для норм, совсем не очевидно, что она достигается или хотя бы является инфимумом.

 
 
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 17:33 
Для фиксированной матрицы - именно инфимум, вроде (я ни разу не специалист, просто как-то рассказывали нам про это дело, сейчас точные формулировки и ссылки гуглить надо).
Например, см. лемму 11 тут ( http://www.math.drexel.edu/~foucart/TeachingFiles/F12/M504Lect6.pdf ) и формулу сразу перед теоремой 12

 
 
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 17:43 
Аватара пользователя
Dref в сообщении #1017165 писал(а):
Может ли норма матрицы $E_{ij}$ (с единицей на месте $(i,j)$ и остальными нулями) быть меньше единицы?

Если матрица - квадратная (это вытекает из требования мультипликативности нормы) и $i=j$ , то тривиально доказывается, что норма не может быть меньше 1.

 
 
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 18:04 
Brukvalub в сообщении #1017302 писал(а):
Dref в сообщении #1017165 писал(а):
Может ли норма матрицы $E_{ij}$ (с единицей на месте $(i,j)$ и остальными нулями) быть меньше единицы?

Если матрица - квадратная (это вытекает из требования мультипликативности нормы) и $i=j$ , то тривиально доказывается, что норма не может быть меньше 1.


В данном случае вы совершенно правы, т.к. $E^2_{ii}=E_{ii}$. А как быть, если $i\not=j$? Попробовать преобразования подобия (они, как известно, не меняют нормы), чтобы привести матрицу к диагональному виду?

 
 
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 18:18 
А для $i \neq j$ можно построить норму, сколь угодно близкую к 0, так как других собственных чисел нет. Документ по моей ссылке посмотрите все-таки.

 
 
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 18:19 
Аватара пользователя
$E_{ij} \cdot E_{ji}=E_{ij}$. Если предположить (что естественно, но не очевидно!), что норма матрицы не меняется при транспонировании, то проходит предыдущее рассуждение, доказывающее, что норма не может быть меньше 1.

 
 
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 19:45 
Brukvalub в сообщении #1017342 писал(а):
$E_{ij} \cdot E_{ji}=E_{ij}$. Если предположить (что естественно, но не очевидно!), что норма матрицы не меняется при транспонировании, то проходит предыдущее рассуждение, доказывающее, что норма не может быть меньше 1.


Brukvalub, спасибо, по-моему, это то, что нужно. Доказать равенство нормы матрицы $E_{ij}$ и ее транспонированной можно с помощью преобразования подобия. Подберем невырожденную матрицу $P$ такую, что $PE_{ij}P^{-1}=E_{ji}$. Тогда по свойству нормы получаем $||E_{ji}||\leq ||E_{ij}||$. Аналогично доказываем, что $||E_{ij}||\leq ||E_{ji}||$.

-- Вт май 19, 2015 19:56:29 --

Narn в сообщении #1017341 писал(а):
А для $i \neq j$ можно построить норму, сколь угодно близкую к 0, так как других собственных чисел нет. Документ по моей ссылке посмотрите все-таки.


Narn, вариант со спектральным радиусом здесь, по-моему, не работает. В схеме доказательства, предложенной Bruklovod, вроде бы, все верно и мультипликативная норма матриц $E_{ij}$ не может быть меньше $1$. В любом случае, спасибо за ссылку, на досуге почитаю, возможно найду для себя что-то полезное.

 
 
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 20:00 
Аватара пользователя
Dref в сообщении #1017425 писал(а):
В схеме доказательства, предложенной Bruklovod

А енто хто такой, "Bruklovod"? :shock: :D

 
 
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 22:47 
Brukvalub в сообщении #1017432 писал(а):
Dref в сообщении #1017425 писал(а):
В схеме доказательства, предложенной Bruklovod

А енто хто такой, "Bruklovod"? :shock: :D


Excuse me, зарапортовался :oops: .

 
 
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 23:34 
Аватара пользователя
Ещё раз, почему любая матричная норма сохраняется при преобразовании подобия? Я всё пропустил.

 
 
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение20.05.2015, 00:00 
Brukvalub в сообщении #1017342 писал(а):
Если предположить (что естественно, но не очевидно!), что норма матрицы не меняется при транспонировании,

И не только не очевидно, но даже и естественно неверно.

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group