Матрица якоби, дифференцируемость.

[bot]

Почему не обойтись? Считаем производную в точке $x^0$ по направлению какого-нибудь единичного вектора $e$ непосредственно и по формуле $\frac{\partial f(x^0)}{\partial e}=\operatorname{grad}f(x^0)\cdot e$, которая является следствием дифференцируемости. Различие результатов докажет недиффирунцируемость.

[Lia]

Tosha
В Вашей задаче

Tosha в сообщении #1015957 писал(а):

Для функции $f(x,y,z)=(xy+z,xz+y)$ вычислите матрицу якоби в точке $M(1;-1;2)$

Дифференцируема ли функция в этой точке?

$$J=\begin{pmatrix} y& x & 1\\ z& 1 & x\\ \end{pmatrix}$$

...

частные производные непрерывны.

Этого достаточно.

В других случаях бывает необходимость смотреть по-другому.

[Tosha]

bot в сообщении #1016454 писал(а):

Почему не обойтись? Считаем производную в точке $x^0$ по направлению какого-нибудь единичного вектора $e$ непосредственно и по формуле $\frac{\partial f(x^0)}{\partial e}=\operatorname{grad}f(x^0)\cdot e$, которая является следствием дифференцируемости. Различие результатов докажет недиффирунцируемость.

А совпадение результатов докажет ли дифференцируемость?

-- 17.05.2015, 17:42 --

Lia в сообщении #1016457 писал(а):

Tosha

В других случаях бывает необходимость смотреть по-другому.

По-другому -- это так?

bot в сообщении #1016454 писал(а):

Почему не обойтись? Считаем производную в точке $x^0$ по направлению какого-нибудь единичного вектора $e$ непосредственно и по формуле $\frac{\partial f(x^0)}{\partial e}=\operatorname{grad}f(x^0)\cdot e$, которая является следствием дифференцируемости. Различие результатов докажет недиффирунцируемость.

[Lia]

Tosha в сообщении #1016496 писал(а):

А совпадение результатов докажет ли дифференцируемость?

Нет. Собственно, это же отвечает и на Ваш второй вопрос. Почитайте учебник, пожалуйста, упорядочить две-три теоремы и пару определений из начала раздела "Дифференцируемость" вполне подъемная задача. А то уже сколько времени в трех соснах можно блуждать.

[ewert]

(Оффтоп)

Lia в сообщении #1016018 писал(а):

Объединены две темы.

Объединять без осознанности -- вредно. Я вот уже давно перестал понимать, что, кому и на что тут отвечает.

Разве что слава аллаху, что в это ветке этого понимать и не обязательно.

[AlexDem]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1016630 писал(а):

Объединять без осознанности -- вредно.

А вот это уже экстремизм.

[Lia]

(Оффтоп)

ewert
Спасибо за конструктивную критику в неподобающем разделе.
Не моя вина, что ТС была продублирована одна и та же серия вопросов в трех местах, и разные люди в трех местах повторяли на все лады одно и то же. Объединение было произведено с единственной целью освободить участников от этой почетной повинности. Ни одна из основных тем содержательно при этом не пострадала, в связи с тем, что содержание как таковое отсутствует.
В следующий раз просьба оставлять свои замечания в разделе "Работа форума" или присылать в ЛС. Благодарю заранее.

[Tosha]

Я почитал Фихтенгольца (см в оффтопе), так и не нашел ответ на вопрос: "Как исследовать дифференцируемость в точке, если хотя бы одна из частных производных имеет разрыв в этой точке.".

(Оффтоп)

Почитал также википедию, там тоже не нашел ответа на этот вопрос.

В конспекте лекций Письменного -- тоже не нашел ответа на этот вопрос.

Я понимаю, что функция дифференцируема, если ее приращение представимо в соответствущем виде.

Если функция не дифференцируема, то нужно тогда будет доказать, что нельзя представить в нужном виде приращение, а вот как это делать -- мне не очевидно. Потому я и спрашиваю -- как на практике это делается;) Спасибо за терпение тем, кто читает и извините за занудство мое.

[Brukvalub]

Tosha в сообщении #1016775 писал(а):

Если функция не дифференцируема, то нужно тогда будет доказать, что нельзя представить в нужном виде приращение, а вот как это делать -- мне не очевидно.

В учебных задачах отсутствие нужного разложения обычно получают рассуждением "от противного".

[Tosha]

А можете дать какую-то простенькую задачку на отсутсвие дифференцируемости?)

[Otta]

Tosha
1) $f(x,y)=\begin{cases}1,&\text{ если }xy=0;\\0,&\text{иначе}\end{cases}$
Проверить дифференцируемость в начале координат.

2) $f(x)=\|x\|,\; x\in\mathbb R^n$

То же.

[bot]

Lia в сообщении #1016644 писал(а):

Не моя вина, что ТС была продублирована одна и та же серия вопросов в трех местах

Это я виноват - спутал с integral2009. От меня и поехало ...
Стартовый пример в той теме тоже простой. Первый из примеров от Otta ещё проще, к тому же он демонстрирует, что существование частных производных не обеспечивает даже непрерывности и тем более - дифференцируемости.

-- Вт май 19, 2015 09:40:23 --

Решил не удержаться - не обеспечивает непрерывности даже существование частных производных в любом направлении. Но это уже следующий этап.

[Tosha]

Otta в сообщении #1017001 писал(а):

Tosha
1) $f(x,y)=\begin{cases}1,&\text{ если }xy=0;\\0,&\text{иначе}\end{cases}$
Проверить дифференцируемость в начале координат.

2) $f(x)=\|x\|,\; x\in\mathbb R^n$

То же.

1) $f'_x=0=f'_y$. Но функция имеет разрыв в начале координат. Потому она недифференцируема. Верно?

2) $f'_{x_i}=\dfrac{x_i}{\|x\|}$

Разрыв у всех частных производных в начале координат. Потому недифференцируема.

Правильно?

[Otta]

Было бы хорошо, если бы Вы указывали точку, в которой считаете частные производные. Что в первом случае, что во втором.

Tosha в сообщении #1018530 писал(а):

Разрыв у всех частных производных в начале координат.

Обосновать сможете?

[Tosha]

В первом случае $f'_x=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0-1}{h}=\infty=f'_y$

Тогда недифференцирума в нуле, верно?