Доказать непрерывность функции

[ihq.pl]

Доброго времени суток!
Прошу помочь в решении следующей задачи. Известно, что функция $\varphi(x)$ бесконечно дифференцируемая и для любых натуральных чисел $m,n$ существует такая постоянная $C_{m,n} > 0$, что

$$|x^m\varphi^{(n)}(x)| \le C_{m,n}, \forall x. \qquad (1)$$

Надо доказать, что ряд

$$f(x)=\sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} \varphi(x+k\Delta) \qquad (2)$$

сходится для любого $x$ и любого $\Delta \in \mathbb{R}$ и является непрерывной функцией.

Сходимость ряда доказать легко: условие (1) гарантирует интегрируемость функции $\varphi(x)$, и значит ряд (2) сходится. Доказать непрерывность я попробовал так. Фиксируем точку $x_0$ и $\varepsilon >0$. Надо доказать, что существует такое $\delta$, что если $|x-x_0|\le\varepsilon$ то

$$|f(x)-f(x_0)| \le \delta.$$

Начинаю подставлять:

$$|f(x)-f(x_0)|=\left|\sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} (\varphi(x+k\Delta)-\varphi(x_0+k\Delta))\right| \le \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} |\varphi(x+k\Delta)-\varphi(x_0+k\Delta)|.$$

Функцию $\varphi(x+k\Delta)$ можно разложить в ряд Тейлора в точке $x_0$. Получим

$$|f(x)-f(x_0)|\le \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} \left|\sum\limits_{s>0}\frac{\varphi^{(s)}(x_0+k\Delta)}{s!}(x-x_0)^s\right|\le \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} \sum\limits_{s>0}\frac{|\varphi^{(s)}(x_0+k\Delta)|}{s!}\varepsilon^s$$

Используя свойство (1) получаем, что

$$|f(x)-f(x_0)|\le \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} \sum\limits_{s\ge 1}\frac{C_{s,m} \varepsilon^s}{|x_0+k\Delta|^ms!}, \forall m$$

Меняя порядок суммирования, получаем

$$|f(x)-f(x_0)|\le S_m\sum\limits_{s>0}\frac{C_{s,m}\varepsilon^s}{s!} ,$$

где

$$S_m=\sum\limits_{k \in \mathbb{Z}}\frac{1}{|x_0+k\Delta|^m}.$$

Дальше стопор.

[Oleg Zubelevich]

czesc!



надо просто проверить сперва, что $|\varphi(x)|\le C_k/(1+|x|^k),\quad k\in\mathbb{N}$

[Brukvalub]

Так это же функции, составляющие пространство Шварца!

[Oleg Zubelevich]

ihq.pl в сообщении #1016967 писал(а):

ого $x$ и любого $\Delta \in \mathbb{R}$ и является непрерывной функцией.

кстати $\Delta\ne 0$

-- Пн май 18, 2015 23:41:57 --

Brukvalub в сообщении #1016974 писал(а):

Так это же функции, составляющие пространство Шварца!

спасибо кэп

[Brukvalub]

Oleg Zubelevich в сообщении #1016975 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1016974

писал(а):
Так это же функции, составляющие пространство Шварца! спасибо кэп

Всегда рад протянуть руку помощи тому, кто подзабыл обобщенные функции!

[ihq.pl]

Oleg Zubelevich Спасибо!

Brukvalub
Значит все намного проще?

[Brukvalub]

Да, поскольку этот ряд равномерно сходится на компактах.

[ihq.pl]

Brukvalub в сообщении #1016988 писал(а):

Да, поскольку этот ряд равномерно сходится на компактах.

Спасибо! Я как раз подумал, что раз частичные суммы ряда сходятся равномерно на любых отрезках, то предел должен быть непрерывным.