Дискуссия о единственно верном понимании тензора

[scwec]

maximav в сообщении #1016846 писал(а):

Олегу Зубелевичу. Не ругайте меня, что ломлюсь в открытую дверь. Опять-таки, не вижу в упор даже некоторых из пропечатанных выше важнейших смысловых утверждений в литературе по ДифГему или тензорам.

Дело в том, что здесь и дверей-то никаких нет. А есть совершенно открытое пространство, исхоженное, изъезженное, истоптанное до последней крайности.
Ваши описания сущностного тензоризма не могут интересовать специалистов, но вполне могут привлечь кого-то вообще.
У Вас есть публицистические способности несомненно. Так что дерзайте. Кто захочет - пробьется через любой асфальт.

[g______d]

Ну я не знаю даже. Хотите инвариантное определение? Пусть $M$ -- гладкое многообразие. Обозначим через $C^{\infy}(M)$ кольцо всех бесконечно дифференцируемых функций из $M$ в $\mathbb R$. Векторным полем на $M$ назовём отображение $v\colon C^{\infty}(M)\to \mathbb R$, линейное над $\mathbb R$ и удовлетворяющее тождеству Лейбница: $v(fg)=f v(g)+g v(f)$. Векторные поля образуют модуль над $C^{\infty}(M)$. Обозначим этот модуль через $\Gamma$. Обозначим двойственный модуль через $\Gamma^*$. Далее: тензорным полем валентности $(p,q)$ назовём элемент $\Gamma^{\otimes p}\otimes (\Gamma^*)^{\otimes q}$, где тензорные произведения понимаются как тензорные произведения модулей над кольцом $C^{\infty}(M)$.

Если бы я не писал столько слов, определение поместилось бы в одну строчку.

[Munin]

Осталось определить

g______d в сообщении #1016903 писал(а):

тензорные произведения модулей над кольцом $C^{\infty}(M)$

желательно категорно (как я понимаю, это наиболее общий вариант).

[g______d]

Munin в сообщении #1016928 писал(а):

Осталось определить

Тензорное произведение модулей вводится в курсе алгебры. Впрочем, определение (для модулей над коммутативными кольцами с единицей, а других нам и не надо) чуть ли не дословно повторяет определение тензорного произведения векторных пространств (если мы говорим об инвариантном определении).

[maximav]

Затея была, как я понял не в определениях и не в инвариантных определениях. Задача была в инвариантном понимании, свободном от "определенческих координат". Определений мы можем и в книжках насмотреться. Даже в вашем определении выше я бы заменил поля на дифференциалы, т.к. поля и касательные пр-ва менее естественный объект, чем кокасательные конструкции. Не буду объяснять почему. Двойственные к ним вообще требуют отдельного рассмотрения-критики...типа откуда-зачем у них рога и функционалы растут. Умножения всех этих конструкций тоже не сахар... И пошло поехало. "Координатный" лес определений на определениях. Тема, таким образом, уведется от "грубого..." в "тонкое...". Что не в тему совсем. Впрочем, "единственно верное..." должно же закончиться "единственно верным..."

PS. Кстати, уж если на то пошло всякие ка- и ко-касательные огороды в принципе не вводимы без координат на множестве, которое мы превращаем в многообразия. Поэтому подобноого рода бескоординатные введения, по большому счету - это двойной обман. Изгнать координаты для того, чтобы бескоординатно подать то, что концептуально без многообразия не существует. Грубое введение требует, как выясняется, грубой ломки грубого "обмана".

[g______d]

maximav в сообщении #1016934 писал(а):

принципе не вводимы без координат на множестве, которое мы превращаем в многообразия

Почему не вводимы? Ну замените в определении карты область в $\mathbb R^n$ на область в конечномерном векторном (или аффинном) пространстве, и будет вам счастье.

-- Пн, 18 май 2015 13:20:10 --

maximav в сообщении #1016934 писал(а):

Даже в вашем определении выше я бы заменил поля на дифференциалы

То, что модуль дифференциалов по-хорошему надо рассматривать отдельно -- это правда; тот факт, что он является двойственным к векторным полям, -- это свойство (которое может нарушаться в более общем контексте), а не определение. Но над кольцами типа $C^{\infty}(M)$ -- это overkill, я считаю.

maximav в сообщении #1016934 писал(а):

поля и касательные пр-ва менее естественный объект, чем кокасательные конструкции

Не могу согласиться. Дифференцирование кольца функций, как я его ввел, -- это более чем естественный объект, дифференциальный оператор первого порядка.

maximav в сообщении #1016934 писал(а):

Двойственные к ним вообще требуют отдельного рассмотрения-критики...типа откуда-зачем у них рога и функционалы растут. Умножения всех этих конструкций тоже не сахар...

Двойственный модуль, тензорное произведение модулей -- ну базовый курс алгебры же, разве нет? В теории представлений, на которую Вы выше ссылались, вообще без модулей никуда.

[Macavity]

Munin в сообщении #1016628 писал(а):

Цитата:

Уравнение потока Риччи имеет вид:
$\partial_t g_t=-2\cdot\mathrm{Rc}_{t},$ где $g_t$ обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра $t$), и $\mathrm{Rc}_{t}$ — её тензор Риччи.

Спасибо.

[maximav]

Для g______d

Просто так изгнать число и числовой дифференциал, заменив его на "алгебраический лейбниц" не лучший путь. Открою "тщательно скрываемую тайну": топология - тоже инвариантная конструкция. Числа-координаты (и тут же возникающие с ними "касательные слова") всего лишь другие значки для абстрактных букв-точек. Поэтому предлагаемая "алгебраизация" хороша лишь к своему "христову дню на тензорном столе".

Дифференциальный оператор, хоть и инвариантно скалярный, но оператор. Не весть откуда появившийся объект, которому еще надо указывать, что он действует на "нечто". А перед этим вам надо еще вводить кривую на многообразии, ее параметризации и т.д. А начните говорить здесь еще про "всяких лейбницев", то все станет еще навороченней; это какой еще такой "лейбниц"? Откуда вы его взяли? В отличие от этого дифференциал скалярного объекта индифферентен ко всему. Разница значений $\varphi(P_1)-\varphi(P_2)$ скалярного поля $\varphi$ на многообразии $M$ есть такой же хороший скаляр, как само поле. Эту разницу, как число, вы можете приписать к самой точке $P_1$. Все, что вам нужно - это просто множество всех скалярных $\{\varphi\}$ объектов на $M$, причем для дифференциала/дельты/разницы по барабану даже сам факт того, что $M$ - многообразие; чего не скажешь про $\partial_\alpha$. Дифференциал интуитивно банален, вект.поле - нет. Этой дельте (не дифференциалу; для придирчивых!) по барабану даже топология $M$! Поэтому образуя дифференциалы скаляров и множа их на сами скаляры вы ровным счетом ничего не добавляете, не надстравиваете, но получая при этом кокасательные слои со всем их тензорным хозяйством. Конечно, строить дальше сопряжение неизбежно для полноты конструкции, но исходные посылки все же не все равноправны. Например, физика (прошу прощения за привязку к ней), образно выражаясь, "зациклена" именно на (тензорном) "пр-ве дифференциалов" в точке. Более того, операция взятия "the very Delta above" концептуально отражает потребность и свойства известной нам физики: она вся локальна и линейна в 1-м приближении. Ко-тензоры лезут именно отсюда и лезут сначала они, а не всякая "контра" . Более весомой идеологии, насколько знаю, еще вроде не придумали. Наблюдаемые так или иначе - это формы, интегрировать надо их, а не "контры". Разумеется, я не уничтожаю "контру", а лишь не отдаю ей структурное предпочтение перед формами.

Осталось заметить, что и сама операция дуальности стартует с "нормальных, привычных" и изоморфных ЛВП, но вдруг одни состоят из функционалов над другим. Blah-Blah-blah... и в голову полезло, "а что такое и причем тут функционал?" Не все так прямолинейно и равноценно, как это выглядит в определениях. С ними как раз-таки нет проблем. Проблемы за ними, между "ихними" строчками. Выражаясь тем же языком о чем идет речь, далеко не все пути построения гомологичны друг другу. Слишком уж много разных связностей слоев. Разгребай еще среди них классы эквивалентности... а по ходу дела вдруг оказывается, что "куча из них" оказывается тривиальными, с нулевой кривизной ; к чему тогда был огород? Формальные определения-конструкции изгоняют как раз смысловые переходы, оставляя конечные столбы; не говоря уж о том, что сама математика больна снобистическим спидом. И это не есть хорошо. Что мешало математикам до "янгов-милсов" ввести конструкции расслоений без координатных производных в слоях? Тем более, что бурбакизация к этому времени махровела по всем фронтам. Да еще и Вейль уже давно к тому времени рассказал математикам и физикам про электродинамику.

Одним словом, "понять немотивированное определение невозможно". Это не мое изобретение, это цитата Арнольда. Я привел ряд мотивировок, которые, грубо говоря, просят переделать "ваше" определение. По крайней мере для моей физической интуиции. Определения/терминология - это ярлыки для понятий, но не сами понятия/понимания. Все те же две ипостаси: сущность и представление.

[Munin]

У меня реплики maximav создают стойкое ощущение полной мешанины всего со всем. Начиная с самой первой (ставшей, после отрезания, заглавным сообщением топика). Но я уверен, потому что он произносит какие-то продвинутые термины. g______d, Oleg Zubelevich и другие понимающие люди, пожалуйста, подтвердите или опровергните это впечатление.

[maximav]

Поддерживаю ваше предложение! Только тестов побольше, поподробнее и будьте поконкретнее пожалуйста. Чтобы у меня не было потом "стойких проблем" в разгадывании-интерпретации, в том числе и ваших постов. Цитатки, будьте добры почетче, хотя бы мои. Даже предлагаю вам завести тему "О разоблачении... на тему продвинутых терминов". Чтобы вас поощрить, сообщу: я не специалист по тензорному анализу и даже не математик по образованию. Кстати, ваши предыдущие комментарии об ошибках ТС, которые "его не спасут", в дальнейшем учитывать не будем. Впрочем, вы можете продолжить... maximav'а надо добить.

[Munin]

maximav в сообщении #1017273 писал(а):

Чтобы вас поощрить, сообщу: я не специалист по тензорному анализу и даже не математик по образованию.

А сколько курсов закончили?

[epros]

Munin в сообщении #1017236 писал(а):

У меня реплики maximav создают стойкое ощущение полной мешанины всего со всем.

Я бы спросил так: Хоть кто-нибудь увидел в этом потоке сознания хоть какой-то смысл?

[Утундрий]

diarrhoea verborum simul constipationem conceptum — весьма распространенное в интернетах явление © Лурк

[g______d]

maximav в сообщении #1017200 писал(а):

Разница значений $\varphi(P_1)-\varphi(P_2)$ скалярного поля $\varphi$ на многообразии $M$ есть такой же хороший скаляр, как само поле.

Нет. Это вообще не скаляр. Ну разве что на $M\times M$.

maximav в сообщении #1017200 писал(а):

Эту разницу, как число, вы можете приписать к самой точке $P_1$.

Вот уже это точно не понятно.

maximav в сообщении #1017200 писал(а):

А перед этим вам надо еще вводить кривую на многообразии, ее параметризации и т.д.

Не надо. Потому что, как вы правильно заметили, есть Лейбниц. И ниоткуда я его не брал, он уже есть лет 300.

maximav в сообщении #1017200 писал(а):

По крайней мере для моей физической интуиции. Определения/терминология - это ярлыки для понятий, но не сами понятия/понимания. Все те же две ипостаси: сущность и представление.

Ну "для лично вашей физической интуиции" -- хорошая оговорка. У меня создаётся впечатление, что целью указанной идеологии является построение всех объектов тензорного анализа с нуля. Не знаю, лично у меня не возникает впечатления, что сущности, с которых вы стартуете, более фундаментальны, чем те, с которых стартую я или нормальные учебники. Кроме того, такой цели нет -- начиная от определения многообразия, построить последовательность конструкций, на каждом шаге убеждая себя (всё менее и менее убедительно) что следующий уровень конструкции абсолютно естественен. Наоборот, есть уже известные вещи, лет 100 как известные, и вопрос -- как устроены геометрические объекты, на которых эти вещи живут. Инвариантные определения, о которых говорил я, появились тогда, когда в них возникла необходимость. Целями были (список неполный)

1) Что-нибудь зафиксировать, чтобы легче было запомнить.
2) Сократить длину. Именно избавиться от слов, которые кажутся лишими, а не объявить слова "идеологически неправильными".
3) Подготовить площадку для обобщений: например, некоммутативный случай и случай алгебраических многообразий (или схем). В последнем случае как раз важна разница между векторными полями и формами, они определяются независимо друг от друга.

[maximav]

Munin в сообщении #1017352 писал(а):

maximav в сообщении #1017273 писал(а):

Чтобы вас поощрить, сообщу: я не специалист по тензорному анализу и даже не математик по образованию.

А сколько курсов закончили?

5 неполных. Ассистент на каф теор.физики. Это для дальнейшего вашего поощрения.