по следам гипотезы Эйлера для 4-х степеней

[maxal]

Сейчас известно много контрпримеров для гипотезы Эйлера для 4-х степеней, начиная с наименьшего:

$$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4.$$

Докажите, однако, что не существует контрпримера вида

$$(8a+2)^4 + (8b+2)^4 + (8c+1)^4 = (8d+1)^4,$$

где $a,b,c,d$ -- целые числа.

[Руст]

maxal в сообщении #1016870 писал(а):

Сейчас известно много контр-примеров для гипотезы Эйлера для 4-х степеней, начиная с наименьшего:

$$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4.$$

Докажите, однако, что не существует контр-примера вида

$$(8a+2)^4 + (8b+2)^4 + (8c+1)^4 = (8d+1)^4,$$

где $a,b,c,d$ -- целые числа.

Можно немного обобщить

$$(8a\pm 2)^4 + (8b\pm 2)^4 + (8c\pm 1)^4 = (8d\pm 1)^4,$$

Доказывается просто- из $p|a^4+b^4\, (a,b)=1 \to p=1\mod 8$.
Более полно. Пусть $x^4+y^4+z^4=t^4$. Можно сократить на общий делитель и считать, что он равен 1.
Справа не может быть четное число, так как в этом случае слева 2 нечетных 4-ч степеней дают остаток 2 по модулю 16.
Слева не могут быть все нечетными, так как$3\mod 16\not =1\mod 16$.
Таким образом слева одно число нечетное, пусть это $z$ а числа $x,y$ четные и их заменим на $2x,2y$.
Представим $x^4+y^4=\frac{1}{16}(t-z)(t+z)(t^2+z^2)$.
Если одно из чисел t,z вида $\pm 1\mod 8$, другое $\pm 3\mod 8$, то сумма квадратов делится на некоторое простое число вида $p=5\mod 8$ в нечетной степени, а число слева не делится на такое простое (по крайней мере в нечетной степени). Это означает что $(\frac{2}{z})=(\frac{2}{t})$ и выражение справа делится на 2. Если x,y нечетные, то справа число делится на 2, но не делится на 4.
Если $16|t-z$, то $4|(t+z)(t^2+z^2)$ и нет равенства. Аналогично, если $16|t+z$. Но тогда ($16\not |t-z, 16\not |t+z$) одно из чисел $t-z,t+z$ делится на простое $3\mod4$ или $5\mod 8$ в нечетной степени.
Таким образом доказано, что в уравнении $x^4+y^4+z^4=t^4$ после сокращения на общий делитель, справа число нечетное, слева 2четных, одно нечетное, причем для нечетных чисел $(\frac{2}{z})(\frac{2}{t})=1$. Так как $2|x^4+y^4$ и $xy$ четно, получаем, что слева два числа делятся на 4.

[maxal]

Руст в сообщении #1016887 писал(а):

Доказывается просто- из $p|a^4+b^4\, (a,b)=1 \to p=1\mod 8$.

Как именно?

[Руст]

Если $p=5\mod 8$, то $p|a^4+b^4\to c^4=-1(c=\frac ab \mod p)$ не разрешимо.

[maxal]

Руст в сообщении #1016915 писал(а):

Если $p=5\mod 8$, то $p|a^4+b^4\to c^4=-1(c=\frac ab \mod p)$ не разрешимо.

Условие $p\equiv 1\pmod{8}$ можно обосновать, используя тождество $a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2(ab)^2$ и квадратичный закон взаимности.
Но мой вопрос был про то, как использовать это условие для исходной задачи. Теперь вопрос снят.

[Руст]

Я же дал подробности как доказывается, что два четных числа делятся как минимум на 4, а два нечетных связаны соотношением $(\frac 2z)(\frac 2t)=1$.

[maxal]

Руст в сообщении #1016887 писал(а):

Таким образом доказано, что в уравнении $x^4+y^4+z^4=t^4$ после сокращения на общий делитель, справа число нечетное, слева 2четных, одно нечетное, причем для нечетных чисел $(\frac{2}{z})(\frac{2}{t})=1$. Так как $2|x^4+y^4$ и $xy$ четно, получаем, что слева два числа делятся на 4.

Можно пойти чуть дальше и утверждать, что имеют место два случая:
1) $t\equiv 1\pmod{8}$ и $x\equiv y\equiv 0\pmod{8}$;
или
2) $t\equiv 5\pmod{8}$ и $x\equiv y\equiv 4\pmod{8}$.
Причем второй случай оказывается несостоятельным.

Из этого можно далее вывести, что одно из чисел $t-z$ или $t+z$ делится на $2^{10}=1024$. Например, для указанного в стартовом сообщении минимального контрпримера $1024$ делит сумму $422481 + 217519$.
По сути это результат статьи:
M. Ward, Euler’s problem on sums of three fourth powers, Duke Math. J. 15 (1948), 827–837. doi:10.1215/S0012-7094-48-01575-0

-- Mon May 18, 2015 14:07:42 --

Кстати, предлагаю доказать (вслед за Вардом), что не существует контрпримера вида:

$$(8a+4)^4 + (8b+4)^4 + (8c+5)^4 = (8d+5)^4,$$

где $a,b,c,d$ -- целые числа.