Пытаюсь освоить аналитическую теорию чисел. Виноградов приводит выражение

, где известно, что

и

монотонна на
![$[M_1;{M'}_1]$ $[M_1;{M'}_1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/d/27dc27166108e6a8472906f015fcf16a82.png)
.
После этого он пишет "Применим вторую теорему о среднем значении к вещественной и к мнимой части каждого интеграла в отдельности, получим

".
Мне непонятны, собственно, оба финта:
1) Как можно интегрировать вещественную и мнимую часть отдельно, если сама "комплексность" заложена под

, то есть по ней всё интегрируется. Или тут имеет место что-то вроде

?
2) Каким образом применяется вторая теорема о среднем значении? Сама теорема гласит о существовании точки

такой, что <и тут формула>. А в выводе неравенства никакой точки

не рассматривается, и непонятно откуда берётся

. Если ответ на первую мою непонятку я нащупываю правильно, то рассматривать нужно интегралы вида

, но, в теореме всё равно участвует интеграл по

, то есть по

, а здесь границы интегрирования в итоговом выражении даже не встречаются.
Если есть добрые и знающие люди, распишите, пожалуйста, чтоб было понятно что к чему. Более-менее первый раз лезу в комплексные интегралы, и о второй теореме о среднем тоже первый раз слышу. Заранее всем спасибо за потраченное на меня время.