Описать все нормальные подгруппы

[Kras]

Тут такая задача. Нужно описать все нормальные подгруппы и факторгруппы для $\mathbb{Z}$. Если под $\mathbb{Z}$ понимается множество всех целых чисел $\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$, то достаточно рассмотреть множество чисел кратных $n$, т.е. $\{...,-2n,-n,0,n,2n,...\}$. Тогда факторгруппы представляют из себя классы вычетов. Но где гарантия, что множества кратных - это единственные возможные в природе нормальные делители $\mathbb{Z}$ ?

Всё было хорошо до этого момента.

Lia: заголовок изменен на содержательный.

[Narn]

Во-первых, группа абелева, так что "нормальная подгруппа" = "подгруппа". Ну и смотреть надо на наименьший по модулю элемент, док-во от противного.

[Kras]

Narn в сообщении #1016825 писал(а):

Во-первых, группа абелева, так что "нормальная подгруппа" = "подгруппа".

В этом изначально не было никаких сомнений. Сомнения были в том, удалось ли мне описать все существующие подгруппы $\mathbb{Z}$.

Narn в сообщении #1016825 писал(а):

Ну и смотреть надо на наименьший по модулю элемент, док-во от противного.

Если честно, я ничего не понял.

[Narn]

Берете вашу подгруппу (ненулевую). Смотрите на наименьший по модулю ненулевой элемент в ней. Предполагаете, что какой-то элемент в подгруппе на этот наименьший нацело не делится. Доказываете, что такого быть не может. Извините за краткость, но это стандартнейшее док-во есть, я думаю, в любом учебнике, а полные решения тут, кажется, вообще нельзя выкладывать.

[Brukvalub]

Можно еще у Куроша про группы и подгруппы почитать (если Вербицкий разрешит!)

[Narn]

(Оффтоп)

Не надо Куроша, есть же кошерный Винберг :) глава 4, параграф 3 (циклические группы), издание 2011 года.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Нет, именно тс нужно предлагать читать именно Куроша. Причины такого предложения ему хорошо известны.

[Kras]

Brukvalub в сообщении #1016833 писал(а):

Можно еще у Куроша про группы и подгруппы почитать (если Вербицкий разрешит!)

Разве я могу ослушаться мастера?

Narn в сообщении #1016831 писал(а):

Берете вашу подгруппу (ненулевую).

Спасибо, т.е. имеется в виду случай $n=0$. Тогда множество $\{...,-2n,-n,0,n,2n,...\}$ состоит из одного нуля и мы имеем одноэлементную подгруппу. Это интересный случай.

Narn в сообщении #1016831 писал(а):

Смотрите на наименьший по модулю ненулевой элемент в ней. Предполагаете, что какой-то элемент в подгруппе на этот наименьший нацело не делится.

Кажется, я додумался до истины. Пусть $n$ - наименьшее положительное число. Если не делится нацело, значит делится с остатком: $z=kn+r$, где $0< r<n$. Вычтем (а по факту прибавим обратный) элемент $n$ k раз, получим $kn+r-kn=r$. Остаток всегда меньше делителя, значит нашлось число меньшее $n$, что противоречит.

Меня смущает только, что группа у нас всех целых чисел с операцией сложения, а в доказательстве без предварительной медитации используется деление с остатком. Как-то это нехорошо, как-то это некрасиво. Интересно, что бы Курош сказал по этому вопросу?

[Brukvalub]

Kras в сообщении #1016845 писал(а):

Меня смущает только, что группа у нас всех целых чисел с операцией сложения, а в доказательстве без предварительной медитации используется деление с остатком. Как-то это нехорошо, как-то это некрасиво. Интересно, что бы Курош сказал по этому вопросу?

Курош бы посоветовал читать себя. Разве структура группы противоречит делению с остатком, спросил бы Курош?

[Kras]

Brukvalub
Что такое деление с остатком? Его нет. Есть бинарная операция называемая сложением. Значит средств теории групп недостаточно, чтобы доказать эту теорему?

[Brukvalub]

Деление - операция, обратная умножению. Умножение в аддитивной записи групповой операции соответствует возведению в степень в мультипликативной записи. Так что деление с остатком тривиально обосновать, оставаясь в границах групповой операции.

[Narn]

Да почитайте вы и правда хоть Куроша, хоть Винберга (у меня в оффтопе), хоть Ленга --- везде будет деление с остатком. Если вы посмотрите док-во для циклических групп, то увидите, что деление с остатком применяется к показателю степени. Я могу поумничать на пустом месте: абелева группа --- это в точности модуль над кольцом целых чисел. И поэтому применять тут все операции, которые есть для целых чисел, вполне нормально.

[Kras]

Спасибо, кажется я приблизительно понял суть. Ну кроме 'аддитивной записи' и 'мультипликативной записи', хотя я и догадываюсь что это такое. Да, Винберга обязательно прочту, будет время. А можно ли пользуясь всеобщей добротой, задать ещё ряд вопросов, уже совершенно оффтоповых?

[Brukvalub]

Задавайте.

[Kras]

(Оффтоп)

Меня интересует арифметика, как строго, аксиоматически строятся теории (натуральных чисел, целых и т.д.) и какие полезные факты из них можно извлечь...

Я тут обнаружил, что совершенно не понимаю бинарные отношения 'больше', 'меньше'... Как они вводятся и на каком основании мы заявляем что одно число больше/меньше другого?

Будет хорошо, если участники рекомендуют мне список литературы, где начиная с аксиом постепенно растолковываются основные школьные понятия (именно то что касается чисел).