Помогите с системой ДУ в частных производных

[K.D.]

Здравствуйте. Прошу местных гуру кое-что подсказать по поводу решения системы дифф. уравнений в частных производных.
Заранее прошу простить за кривые формулировки, я не математик, я химик. Просто вот такая задача возникла в процессе работы.

Имеется каталитический процесс, кинетика которого описывается системой уравнений вида:

$$ \begin{cases} \frac {\partial y_1} {\partial t} + A(y_1,y_2,...y_n)\frac {\partial y_1} {\partial x} = B(y_1,y_2,...y_n,t)\sum_{\substack{j=1}}^n k_{1j}y_j^N_j\\ \frac {\partial y_2} {\partial t} + A(y_1,y_2,...y_n)\frac {\partial y_2} {\partial x} = B(y_1,y_2,...y_n,t)\sum_{\substack{j=1}}^n k_{2j}y_j^N_j\\ ...\\ \frac {\partial y_n} {\partial t} + A(y_1,y_2,...y_n)\frac {\partial y_n} {\partial x} = B(y_1,y_2,...y_n,t)\sum_{\substack{j=1}}^n k_{nj}y_j^N_j\\ \end{cases} $$

Специфика системы состоит в том, что матрица коэффициентов $k_{ij}$ почти всегда сводится к треугольной, с нулевыми членами при $j > i$. Впрочем, не всегда, потому интересует именно общий случай. Другие параметры системы - коэффициент $A$ во всех уравнениях строго одинаков, не зависит явно от $x$ и $t$, меняется при изменении переменных не очень сильно и по порядку равен примерно $10^2$. Коэффициент $B$ равен примерно $10^4$, но коэффициенты $k_{ij}$ сильно меньше 1, так что можно считать в первом приближении, что $A$ и $B$ одного порядка. Кроме того, в ряде моделей $B$ может явно зависеть от $t$. Порядок $N_j$ известен и равен 2 в случае $y_1$ и 1 во всех остальных случаях.

Начальные условия - $y_1(0, t) = 1;\quad y_1(x, 0) = \delta(x);\quad y_i(0, t) = 0;\quad y_i(x, 0) = 0;\quad (i = 2,...n)$, где $\delta(x)$ - аналог дельта-функции (при $x=0$ y_1 = 1, в остальных точках 0).

Аналитически система, конечно, не решается, потому хочется решить хотя бы численно. Конечно-разностные методы выглядят непривлекательными для решения из-за необходимости использования сложных разностных схем (спектральный признак устойчивости очень капризен для таких уравнений) и, соответственно, высоких вычислительных затрат. Насколько я понял из чтения литературы, единственный приличный вариант - метод Галеркина в модификации Канторовича. Т.е., решение каждого уравнения аппроксимируется суммой $\sum_{\substack{k=1}}^mf_k(x)\varphi_k(t)$, задаются $\varphi_k(t)$, составляется система уравнений, исходя из требований ортогональности невязки и функций $f_k(x)$, откуда определяются $f_k(x)$.
Собственно, вопросы:
1) правильно ли я понимаю, что по методу Галеркина моя система из УрЧП алгоритмически может быть сведена к системе ОДУ (в $m$ раз большего размера), которую можно решать банальным МРК?
2) какой базис наиболее подойдет для такого типа уравнений? Насколько я смог понять, читая Канторовича и решая простые примерчики, от выбора базиса серьезно зависит сложность приведения уравнений к системе ОДУ. Аналитическое решение (если б оно могло быть найдено) почти наверняка содержит комбинации экспоненциальных функций, что по $x$, что по $t$. Это известно из специфики процесса и упрощенного моделирования без временной производной.

P.S. Прошу прощения у модераторов, если не в тот раздел запостил, переместите, куда надо, если не сложно.

[пианист]

Что такое $y_j^N_j$?

-- Пн май 18, 2015 08:04:29 --

Если я правильно понял, и это обозначение степени, то Ваша система есть система уравнений с одинаковой главной частью.
Интегрирование сводится к интегрированию оду
$\frac{dt}{1}=\frac{dx}{A}=\frac{dy_1}{F_1}=...=\frac{dy_n}{F_n},$
$F_1,...,F_n$ - правые части.

[K.D.]

пианист
Спасибо, попробую такой вариант. Я правильно понимаю, что при таком решении производную по времени вообще можно отбросить, если в системе $A$ и $B$ не включают явно $t$ ни в каком виде?

[пианист]

Ну да.
В том смысле, что $\frac{dt}{1}=$ можно от диффура "отцепить".