2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два однородных уравнения Монжа-Ампера
Сообщение10.05.2015, 11:42 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Пусть у нас есть два уравнения Монжа-Ампера:
$w_{xx} w_{yy} - w_{xy}^2 = 0,$
$v_{xx} v_{yy} - v_{xy}^2 = 0.$

Для каждого можно написать параметрическое общее решение:
(1): $w = t x + \varphi (t) y + \psi (t),$
(2): $x + \varphi' (t) y + \psi '(t) = 0.$

(3): $v = s x + \alpha (s) y + \beta (s),$
(4): $x + \alpha' (s) y + \beta '(s) = 0.$

Из (2) и (4) можно выразить $x$ и $y$ через $t$ и $s$, так как относительно $x$ и $y$ - это линейная система:

$x = \frac{\psi '(t) \alpha' (s) - \beta '(s) \varphi' (t)}{\varphi' (t) - \alpha' (s)},$
$y = \frac{\psi '(t) - \beta '(s)}{\alpha' (s) - \varphi' (t)}.$

Подставляя найденные $x, y$ в формулы (1), (3) получаем:
$$w = t \frac{\psi '(t) \alpha' (s) - \beta '(s) \varphi' (t)}{\varphi' (t) - \alpha' (s)} + \varphi (t) \frac{\psi '(t) - \beta '(s)}{\alpha' (s) - \varphi' (t)} + \psi (t),$$
$$v = s \frac{\psi '(t) \alpha' (s) - \beta '(s) \varphi' (t)}{\varphi' (t) - \alpha' (s)} + \alpha (s) \frac{\psi '(t) - \beta '(s)}{\alpha' (s) - \varphi' (t)} + \beta (s),$$
$$x = \frac{\psi '(t) \alpha' (s) - \beta '(s) \varphi' (t)}{\varphi' (t) - \alpha' (s)},$$
$$y = \frac{\psi '(t) - \beta '(s)}{\alpha' (s) - \varphi' (t)}.$$

Можно ли утверждать, что это общее решение в параметрическом в виде для двух однородных уравнений Монжа-Ампера?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два однородных уравнения Монжа-Ампера
Сообщение11.05.2015, 11:19 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Вообще, есть подозрение, что это некорректно.
Применяя этот трюк для решение полной системы, получается ерунда.
Но непонятно, где здесь собака зарыта :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Два однородных уравнения Монжа-Ампера
Сообщение12.05.2015, 07:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
DLL в сообщении #1013445 писал(а):
Применяя этот трюк для решение полной системы, получается ерунда

Что есть полная система, и в чем заключается ерунда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два однородных уравнения Монжа-Ампера
Сообщение12.05.2015, 10:20 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Полная система, это когда к двум уравнениям Монже-Ампера еще добавляется связь: $w_x^2 + v_x^2 = 1.$
Парадокс в том, что когда я подставляю полученное параметрическое решение в уравнение связи, получается выражение: $s^2 + t^2 = 1$.
То есть уравнение на независимые переменные. It makes no sense :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Два однородных уравнения Монжа-Ампера
Сообщение14.05.2015, 10:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Все Ваши выкладки до конца не проверял, но самый результат удивительным не выглядит.
Система
$w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^2=0,$
$v_{xx}v_{yy}-v_{xy}^2=0,$
$w_x^2+v_x^2=1.$
является переопределенной и (надеюсь, я не проврался в выкладках) несовместной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два однородных уравнения Монжа-Ампера
Сообщение14.05.2015, 11:23 
Заслуженный участник


04/03/09
906
пианист в сообщении #1014873 писал(а):
(надеюсь, я не проврался в выкладках) несовместной.


Как минимум одно частное решение видно $w(x,y) \equiv 0,\,\,v(x,y)=x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два однородных уравнения Монжа-Ампера
Сообщение14.05.2015, 12:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Да, прошу прощения.
Почему-то решил, что
$w=ax+b,$
$v=cx+d$
противоречит уравнению
$w_x^2+v_x^2=1$
;)
Предыдущий довод, соответственно, снимается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два однородных уравнения Монжа-Ампера
Сообщение14.05.2015, 12:49 
Заслуженный участник


04/03/09
906
Кстати, меня глючит, или какие угодно произвольные функции в $(1)$ и $(2)$ не задавай, решение $w=ax+b,$ таким макаром не получится?

-- Чт май 14, 2015 12:58:19 --

DLL в сообщении #1013795 писал(а):
То есть уравнение на независимые переменные.

Они не то чтобы очень независимые. Ведь решение $(1),(2)$ можно записать таким макаром:
$w(x,y) = t(x,y) x + \varphi (t(x,y)) y + \psi (t(x,y))$, где $t(x,y)$ - функция, неявно задаваемая уравнением $x + \varphi' (t(x,y)) y + \psi '(t(x,y)) = 0.$
Тогда, произвольно задавая $\varphi(t),\,\psi(t)$, мы через $(2)$ задаем функцию $t(x,y)$.
Аналогично, произвольно задавая $\alpha(s),\,\beta(s)$, мы через $(4)$ задаем функцию $s(x,y)$.
И чудесным образом получается, что $s(x,y)^2+t(x,y)^2=1$. Это значит, что четыре произвольно задаваемые функции не совсем произвольны, а связаны друг с другом. То есть, три из них произвольны, а четвертая уже нет. Надеюсь, я не ошибаюсь.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Два однородных уравнения Монжа-Ампера
Сообщение14.05.2015, 19:11 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Ну как бы, решение в параметрическом виде, то есть и зависимые, и независимые переменные суть функции от параметров $s$, $t$.
Дальше стандартным образом (в системе компьютерной алгебры) находятся производные $w_x, w_y, v_x, v_y$.
И вот сумма квадратов $w_x^2 + v_x^2$ после упрощения дает в точности $s^2 + t^2$ :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Два однородных уравнения Монжа-Ампера
Сообщение14.05.2015, 21:00 
Заслуженный участник


04/03/09
906
DLL в сообщении #1015085 писал(а):
И вот сумма квадратов $w_x^2 + v_x^2$ после упрощения дает в точности $s^2 + t^2$

А все потому что $w_x=t$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два однородных уравнения Монжа-Ампера
Сообщение15.05.2015, 07:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Да, похоже.
У системы
$w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^2=0,$
$v_{xx}v_{yy}-v_{xy}^2=0,$
$w_x^2+v_x^2=0$
все решения суть
$w=ax+w_0(y),$
$v=bx+v_0(y),$
где $a, b$ - константы:
$a^2+b^2=1.$
А такие решения в использованный случай общего положения не попадают, они соответствуют $t, s$ константа.
Поэтому после преобразования к координатам $(t,s)$ мы остаемся совсем без решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два однородных уравнения Монжа-Ампера
Сообщение15.05.2015, 08:59 
Аватара пользователя


12/03/11
688
пианист в сообщении #1015336 писал(а):
Да, похоже.
У системы
$w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^2=0,$
$v_{xx}v_{yy}-v_{xy}^2=0,$
$w_x^2+v_x^2=0$
все решения суть
$w=ax+w_0(y),$
$v=bx+v_0(y),$
где $a, b$ - константы:
$a^2+b^2=1.$

1. Сумма квадратов 1, а не 0 :-)
2. А почему это все решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два однородных уравнения Монжа-Ампера
Сообщение16.05.2015, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
DLL в сообщении #1015359 писал(а):
1. Сумма квадратов 1, а не 0 :-)

Да, конечно.
DLL в сообщении #1015359 писал(а):
2. А почему это все решения?

Опять поспешил ;(
Не просмотрел особые случаи.
Есть минимум еще решение:
$w=w_0(x),$
$v=v_0(x),$
$w_0'^2+v_0'^2=1.$
Это решение теряется, т.к. обращается в ноль якобиан замены.
Однако возможно остались и еще решения. Сдаюсь, надоело все особые случаи проверять.

(Если что, вот выкладки)

Дифференцируем
$w_x^2+v_x^2=1$
по $x$ и по $y$,
$w_xw_{xx}+v_xv_{xx}=0,$
$w_xw_{xy}+v_xv_{xy}=0,$
разносим слагаемые по разные стороны от равенства и делим одно равенство на другое, получаем
$\frac{w_{xx}}{w_{xy}}=\frac{v_{xx}}{v_{xy}}.$
Уравнения исходной системы
$w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^2=0,$
$v_{xx}v_{yy}-v_{xy}^2=0$
переписываем в виде
$\frac{w_{xx}}{w_{xy}}=\frac{w_{xy}}{w_{yy}},$
$\frac{v_{xx}}{v_{xy}}=\frac{v_{xy}}{v_{yy}},$
что с учетом предыдущего позволяет записать
$\frac{w_{xx}}{w_{xy}}=\frac{w_{xy}}{w_{yy}}=\frac{v_{xx}}{v_{xy}}=\frac{v_{xy}}{v_{yy}}=\Phi,$
$\Phi$ - новая зависимая переменная.
Переписываем последнее равенство в виде
$w_{xx}=\Phi w_{xy},$
$w_{xy}=\Phi w_{yy},$
$v_{xx}=\Phi v_{xy},$
$v_{xy}=\Phi v_{yy}.$
Берем перекрестные производные, вычитаем, получаем
$\Phi_yw_{xy}=\Phi_xw_{yy},$
$\Phi_yv_{xy}=\Phi_xv_{yy},$
то есть
$w_y=f(\Phi),$
$v_y=g(\Phi).$
Избавляемся от $\Phi,$ получаем
$w_y=h(v_y).$
Дифференцируем по $x$ и по $y$
$w_{xy}=h'v_{xy},$
$w_{yy}=h'v_{yy}.$
Подставляем в
$w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^2=0,$
получаем
$w_{xx}v_{yy}-h'v_{xy}^2=0.$
Подставляем сюда $v_{xy}^2$ из
$v_{xx}v_{yy}-v_{xy}^2=0,$
получаем
$w_{xx}=h'v_xx,$
что, с учетом ранее полученного
$w_xw_{xx}+v_xv_{xx}=0$
дает
$w_{xx}=v_{xx}=0.$
Отсюда и из исходной системы следует
$w_{xy}=v_{xy}=0$
и ранее указанное решение.
Особые случаи: $w_xw_{xy}=-v_xv_{xy}=0$, $w_{xy}w_{yy}=0$, $v_{xy}v_{yy}=0$, $v_y=\operatorname{const}$, $w_y=\operatorname{const}$, $v_{yy}=0$, $v_x+h'w_x=0$. Вроде, это все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два однородных уравнения Монжа-Ампера
Сообщение16.05.2015, 16:08 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Очень интересно. Кстати говоря, анализировать общность решения можно следующим образом.
Для системы в инволютивной форме можно ставить корректную начальную задачу (задачу Коши).
Для нашей системы один из вариантов, как ее можно поставить, это следующий:
$w(x_0, y) = f_1(y), w_x(x_0, y) = f_2 (y)$ - (2 произвольные функции 1 переменной)
$v(x_0, y_0) = C_1, v_x(x_0, y_0) = C_2, v_y(x_0, y_0) = C_3$ - (3 константы)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group