Вспоминая формулу для геодезической кривизны:

где

- это параметризация кривой

- касательная к ней

- вектор кривизны

- единичный вектор главной нормали к пов-ти
Формула верна, но Вы её не совсем правильно интерпретируете. У нас есть радиус-вектор

, зависящий от параметра, скажем,

. Тогда

— касательный вектор.
Параметр

может быть натуральным или не быть таковым. В первом случае вектор

будет единичным. Тогда в знаменателе единица, и формула упрощается до

.
Но если параметр

произвольный, то

, и вектор

не совпадает с вектором кривизны, даже по направлению. Единственное, что можно про него утверждать — что он лежит в соприкасающейся плоскости, как главная нормаль и «настоящий» вектор кривизны.
я не понимаю как мне взять производную от этого вектора?
Обозначим

. Так как вектор

касателен к кривой, можно выбрать такую параметризацию, что

. Тогда

Эта штука иногда называется «производная вектора по направлению (другого вектора)», в данном случае оба равны

. Её можно выразить через более привычные дифференциальные операторы, вроде градиента и ротора.
Итак,
