2^a - 3^b не делит 2^c + 3^d

[maxal]

Пусть $a,b,c,d$ - целые положительные числа, причем числа $a+b$ и $ad+bc$ являются нечётными.
Докажите, что если $2^a - 3^b>1$, то число $2^a - 3^b$ не делит число $2^c+3^d$.

Задача № 3883 из Crux Mathematicorum 39:9 (2013) моего авторства.

[rightways]

Квадратичный закон Гаусса поможет

[maxal]

rightways, продемонстрируйте...

[rightways]

не смог решить

[Руст]

Не только не делит, но и НОД=1.
Доказывается просто.
Ясно, что или a,d оба нечетные, либо b,c - оба нечетные. Пусть первое.
Тогда одно число делит $2^{ac}+3^{ad}$ другое $2^{ac}-3^{bc}$, ясно что у них НОД=1.

[maxal]

Руст в сообщении #1015117 писал(а):

Тогда одно число делит $2^{ac}+3^{ad}$ другое $2^{ac}-3^{bc}$, ясно что у них НОД=1.

Не ясно. Например, для $a=c=3$, $d=1$, $b=2$, имеем: $\gcd(2^9 + 3^3, 2^9 - 3^6)=7$.

[Руст]

Да, насчет НОД=1, не верно.
Пусть $a$ нечетное, тогда $d$ нечетное, $b$ - четное.
$2^a-3^b=2\mod 3$, соответственно имеет простой делитель $p=2\mod 3$.
С другой стороны $2^a=3^b\mod p\to (\frac 2p)=1\to p=\pm 1 mod 8$.
Если наше простое $p=2\mod 3, p=7\mod 8$, то $p|2^c+3^d\to 2^c=-3^d\mod p\to (\frac{-3}{p})=1$. Однако
$(\frac{-3}{p})=-(\frac{3}{p})=(\frac{p}{3})=-1$, т.е. $p\not |2^c+3^d$.
Если оказалось $p=1\mod 8, p=2\mod 3$, то $(\frac{-3}{p})=(\frac 3p)=(\frac p3)=-1$, опять не делится. Тем самым в случае $a$ нечетный имеется
простой делитель числа $2^a-3^b$ вида $p=2\mod 3$ на которое число $2^c+3^d$.
Если $a$ четное, то $b,c$ - нечетные и для простых делителей числа $2^a-3^b=13\mod 24$ получаем $p=\pm 1\mod 12, (\frac 3p)=1$.
Всегда есть делитель вида $p=13\mod 24$ или $p=23\mod 24$.
Если $p=23\mod 24$, то $(\frac{3^d}{p})=1, (\frac{-2^c}{p})=-(\frac{2}{p})=-1$, т.е. $p\not |2^c+3^d$.
Если $p=13\mod p$, то $(\frac{3^d}{p})=1, (\frac{-2^c}{p})=(\frac{2}{p})=-1$. Опять $p\not |2^c+3^d$.

[maxal]

Руст, теперь похоже на правду.

[Руст]

Откуда задача?
Нечто похожее вроде было и здесь на форуме.

[maxal]

Руст в сообщении #1015639 писал(а):

Откуда задача?
Нечто похожее вроде было и здесь на форуме.

Задача моя. Я её когда-то обкатывал в разделе ЗУ - возможно, там её и видел.

[Руст]

Нашел
post1013942.html?hilit=2^a%203^b%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82#p1013942
Кажется я решал эту задачу в Mathlinks.

[Руст]

Можно заменить числа 2, 3 на $x,y$ c условием $(\frac{x'}{y'})=-1=(\frac{y'}{x'})$, здесь $x'=\prod_{v_p(x)-odd}p, y'=\prod_{v_p(y)-odd}p$ и употребляется символы Якоби для этих чисел.