2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение14.05.2015, 00:25 
Заслуженный участник


26/05/14
981
Спасибо, grizzly. Ваше объяснение всё объяснило.

В "чётных" числах я ошибок не нашёл. В "нечётных" мне не хватает правил с индексами. Например, рассуждение про первую девятку должно быть изменено, так как первая девятка может быть, а может и не быть частью бесконечной последовательности девяток.

-- 14.05.2015, 00:29 --

И ещё, мы больше сосредоточились на корректности и инъективности. А сюръективностью тоже всё в порядке?

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение14.05.2015, 00:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
slavav в сообщении #1014290 писал(а):
Кажется, что при любой попытке красиво отобразить числа в строки вы получите счётное число дырок во множестве строк.
Разумеется. Но если надо разные цифры по-разному в какой-то части построения учитывать, проще сработаться с двумя, чем с десятью, при том что для выражения всего нужного (единцы вместо девяток, нули вместо остальных «хороших» цифр) хватает двух.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение14.05.2015, 00:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
slavav в сообщении #1014745 писал(а):
В "нечётных" мне не хватает правил с индексами. Например, рассуждение про первую девятку должно быть изменено, так как первая девятка может быть, а может и не быть частью бесконечной последовательности девяток.

Я так далеко ещё не смотрел, но готов поверить, что что-то совсем аналогичное там можно построить. Хотелось бы, конечно, не городить отдельное доказательство, а сослаться на соображения симметрии с "чётным" случаем, но пока не уверен, не думал.

slavav в сообщении #1014745 писал(а):
А сюръективностью тоже всё в порядке?

Ну я сразу сказал, что сколько-то посмотрел и проблем не увидел. Вроде бы несложно предъявить, что любая конкретная точка стороны квадрата успешно поучаствовала.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение14.05.2015, 01:27 


09/11/12
210
Донецк
Если Вас интересует нечётный случай, я могу попробовать. Рассмотрим последовательность $x=0, x_1x_2\ldots x_{2n}9x_{2n+2}9\ldots .$
Рассмотрим случай $n\geqslant 2;$ в частности, $x_{2n-1}\ne 9$ и при конкретном $n=2$ имеем $x_3\ne 9.$ В таком случае, полагаем:
$f(x)=(0,\underbrace{9\ldots 9}\limits_{2n-1}x_{2n-1}x_1x_2\ldots x_{2n-3}x_{2n-2}x_{2n}x_{2n+2}x_{2n+4}\ldots; 1)$ .

Пусть теперь у нас $x=0,9x_29x_49x_6\ldots .$ При $x_2\ne 9$ положим $f(x)=(0, x_2x_4x_6\ldots).$ Если у нас $x_2=9,$ то $f(x)=(0,\underbrace{9\ldots 9}\limits_{2n-2}x_{2n}x_{2n+2}\ldots ;  1),$ где $n$ -- наименьшее $n,$ соответствующее $x_{2n}\ne 9.$ Сообщайте о замечаниях

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение14.05.2015, 16:39 
Заслуженный участник


26/05/14
981
Чётный случай я проверил. Всё в порядке. Разделение на чётные и нечётные случаи тоже корректно. Можно совместить второе и третье правила, если поиграть с длиной префикса из девяток в результатах. Нечётный случай не проверял, но верю, что его можно сделать корректно.

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение14.05.2015, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Evgenii2012, slavav
Спасибо за совместную работу :-)
Думаю, вопрос можно считать закрытым. Я рад, что мы сообща дошли до точки невозврата уверенности именно в первоначальной постановке вопроса от Evgenii2012, а не успокоились альтернативными идеями доказательства или доказательством существования (я говорил выше, что меня тоже заинтересовала именно такая постановка с поиском полноценной биекции в явном виде).

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение14.05.2015, 17:52 


09/11/12
210
Донецк
Я тоже очень рад, большое Вам спасибо, коллеги :)

 Профиль  
                  
 
 Re: О биекции отрезка на квадрат
Сообщение15.05.2015, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
grizzly в сообщении #1014306 писал(а):
Непонятен вопрос о том, как понимают доказательство студенты мехмата МГУ в курсе Верещагин Н.К, Шень А. (см. Теорему 5 на стр. 18).

Приношу публичные извинения за некорректный наезд. Мне объяснили в чём суть моего непонимания. В доказательстве той теоремы не ставится цель предоставить конкретную "числовую" биекцию. Там чуть более хитрая цепочка рассуждений:
    1) Множество $X$ чисел $[0;1]$ в двоичной записи равномощно множеству $Y$ бесконечных последовательностей из 0 и 1. Это корректно доказано с сылкой на теорему об устранении счётного количества проблем.
    2) Множество $Y$ (здесь уже говорим не о числах, а о последовательностях) равномощно множеству $Y\times Y$ -- это доказано "координатным" методом без каких-либо исключений.
    3) $Y\times Y$ равномощно $X\times X$ (поскольку $Y$ равномощно $X$). Это завершает требуемую цепочку композиций биекций: $X \leftrightarrow Y \leftrightarrow Y\times Y \leftrightarrow X\times X$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 83 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group