единственный положительный корень

[maxal]

Пусть даны $n>1$ положительных действительных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$, не все из которых равны между собой. Обозначим через $\overline{a}$ их среднее арифметическое: $\overline{a}=\frac{a_1+\dots+a_n}{n}$.

Докажите, что среди действительных корней многочлена

$$\sum_{i=1}^n a_i (a_i-\overline{a})\cdot \prod_{k=1\atop k\ne i}^n (x+a_k)^2$$

ровно один (без учета кратности) является положительным.

[lopkityu]

Ну если навскидку, то при $ n=2, d=1 $ получаем линейный многочлен с единственным и явно не положительным корнем $ x=0 $. В общем случае завтра посмотрю, может там будет получше.

[maxal]

lopkityu, спасибо за замечание. Обобщение на разные $d$ было неудачным. Основная задача - для $d=2$. Условие исправлено.

[mihiv]

Попытка решения.
Многочлен имеет степень $2n-2$. Коэффициент при старшем члене равен:

$$\sum \limits _{i=1}^n(a_i^2-a_i\overline {a})=n\overline {a^2}-n(\overline {a})^2>0\qquad (1)$$

Свободный член равен:

$$C=A\sum \limits _{i=1}^n\dfrac {a_i(a_i-\overline {a})}{a_i^2}=A\sum \limits _{i=1}^n(1-\frac {\overline {a}}{a_i})=A(n-\overline {a}\sum \limits _{i=1}^n\dfrac 1{a_i})\qquad (2) \text {где}A=\prod \limits _{k=1}^na_k^2$$

Поскольку $\sum \limits _{i=1}^n\dfrac 1{a_i}>\dfrac n{\sqrt [n] {a_1\dots a_n}}>\dfrac {n^2}{a_1+\dots a_n}=\dfrac n{\overline a}$, то из (2) получим $C<A(n-\overline {a}\dfrac n{\overline {a}})=0\qquad (3)$
Все коэффициенты многочлена действительные, поэтому из (1) и (3) следует, что многочлен имеет нечетное число положительных корней. Доказать, что положительный корень только один, пока не получается.

[Руст]

Пусть $P(x)=\prod_i (x+a_i)^2$. Тогда наше выражение есть

$$P(x)f(x), f(x)=\sum_i \frac{a_i(a_i-a)}{(x+a_i)^2}.$$

Ясно, что $f(0)=n-\sum_i\frac{a}{a_i}<0$ и при больших х $f(x)>0$.

$$f^{(k)}(x)=(-1)^{k+1}(k+1)![ \sum_{i|a_i<a}\frac{a_i(a-a_i)}{(x+a_i)^{k+2}}-\sum_{i|a_i\ge a} \frac{a_i(a_i-a)}{(x+a_i)^2}]$$

.
Отсюда получается
$f'(x)\ge \frac{-2}{x+a}f(x), f''(x)\ge \frac{-3}{x+a}f'(x),...$
Это значит $f(x)$ растет ($f'(x)>0$) пока $f(x)\le 0$. Пусть $x_*$ минимальное, когда $f'(x)=0$. Здесь максимум и значение положительное.
Пусть $g(x)=\ln f(x), x>x_*$. Тогда $g'(x)>-\frac{2}{x+a}\to g(x)>g(x_*)+2\ln\frac{x_*+a}{x+a}$ остается ограниченным, т.е. $f(x)$ не уходит в бесконечность или в 0, остается положительной.

[maxal]

Всё проще, если рассмотреть функцию

$$F(x)=\sum_{i=1}^n a_i (a_i-\overline{a})\frac{(x+\overline{a})^2}{(x+a_i)^2},$$

которая имеет те же корни, что и исходный многочлен.

Нетрудно проверить, что $F(0)<0$, $\lim_{x\to\infty} F(x)>0$ и $F'(x)>0$ для всех $x\geq 0$. Откуда следует единственность положительного корня.

Детали см. на MO.