Ослабить норму

[AGu]

Пусть $X$ — произвольное бесконечномерное векторное пространство над $\mathbb R$.
Хорошо известно, что для любой нормы $\|{\cdot}\|$ на $X$ существует строго более сильная норма —
например, сумма $\|{\cdot}\|+|f({\cdot})|$, где $f$ — неограниченный линейный функционал на $(X,\|{\cdot}\|)$.
Для любой ли нормы на $X$ существует строго более слабая норма?

[Oleg Zubelevich]

мне этот вопрос тоже приходил в голову ,когда я продумывал Вашу задачу про замкнутые операторы.

Предположим нормированное пространство $(X,\|\cdot\|)$ таково, что в $X'$ имеется счетное тотальное подмножество $\{f_j\},\quad j\in\mathbb{N},\quad \|f_j\|_{X'}\le1$. Тогда в качестве более слабой нормы в $X$ возьмем

$$\|x\|_*=\sum_{k} c_k|f_k(x)|,\quad c_k>0,\quad \sum_k c_k\le1.$$

Найдется последовательность $x_n,\quad \|x_n\|=1$ такая, что $x_n\in\bigcap_{i=1}^n\mathrm{ker}\, f_i$. Тогда $\|x_n\|_*\to 0$

-- Пн май 11, 2015 12:48:27 --

$\mathrm{dim}\,X=\infty$ естесна

[AGu]

Oleg Zubelevich, все верно. Поздравляю.
Осталось чуть-чуть поднапрячься, чтобы охватить общий случай.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

у меня есть еще одна мыслЯ, но это уже в порядке полного бреда. Пусть $B'$ -- единичный шар пространства $X'$, он $\sigma(X',X)$-компактен. Пусть $\mu$ борелевская мера, такая, что для каждого непуустого открытого подмножества $U\subset B'$ будет $\mu(U)>0,\quad \mu(B')=1.$
Рассмотрим функцию $x(f)=(f,x),\quad x:B'\to\mathbb{R},\quad (x\in X)$ и введем норму формулой $\|x\|_*=\int_{B'}|x(f)|d\mu=\|x\|_{L^1_\mu(B')}$ Доказать, что эта норма слабее исходной я не умею

из теоремы Хана-Банаха следует, что $\|x\|'=\max_{f\in B'}|x(f)|=\|x\|_X$, можно ли сказать, что $\|x\|'=\|x\|_{L^\infty_\mu(B')}$ а толку-то с этого... Вообщем поток сознания

[AGu]

Oleg Zubelevich, источник Вашего «потока сознания» понятен, но света в конце туннеля, по которому течет этот поток, мне, признаться, тоже не видно.

Итак, есть отличная идея, которая работает при наличии счетного тотального множества функционалов. Может быть, стоит попытаться не обобщать, а использовать эту идею? Допустим, на всем пространстве нет такого множества функционалов. Но оно может найтись на каком-то его подпространстве...

[sup]

AGu в сообщении #1014283 писал(а):

Но оно может найтись на каком-то его подпространстве...

А потом мы возьмем выпуклую оболочку единичного шара в подпространстве и исходного единичного шара. Это будет единичный шар искомой нормы. Надо, правда, убедиться, что это не полунорма. Проще говоря, это множество не содержит луч.
В соседней теме тоже надо взять выпуклую оболочку двух шаров. Если получится "настоящая" норма, то ослабляем ее по данной схеме.

[AGu]

sup, хорошая идея. (Она хороша хотя бы тем, что мне в голову она тоже приходила. ) Но у нее есть один недостаток: соответствующего доказательства у нас нет. Будем устранять? (Глядишь, и соседней теме подсобим.)

[sup]

Хм, да. Вопрос сводится к построению слабой нормы в сепарабельном банаховом пространстве. Мне почему-то сходу показалось, что это просто. Если мы умеем решать этот вопрос, то общий случай уже получаем по изложенной схеме.
Сначала подбираем подходящее замкнутое сепарабельное подпространство в $X$. На нем строим слабую норму, а затем строим замкнутую выпуклую оболочку с единичным шаром. По т. Х.-Б. это будет единичный шар некоторой нормы (а не полунормы).

[AGu]

sup в сообщении #1014500 писал(а):

По т. Х.-Б. это будет единичный шар некоторой нормы (а не полунормы).

А можно поподробнее? Почему эта оболочка не будет содержать прямых? Как тут помогает теорема Хана — Банаха?

[sup]

Пусть в $X$ с нормой $\|\cdot \|$ задано замкнутое подпространство $E$ с нормой $|\cdot |$. Считаем, что для всех $e \in E$ выполнено неравенство $\|e \| \geqslant |e|$. Единичные шары в $X$ и $E$ обозначим как $B_0, B_1$. Ясно, что $B_0 \bigcap E \subset B_1$. Теперь рассмотрим выпуклую оболочку $B_0$ и $B_1$, замкнутую относительно $\|\cdot \|$. Это замкнутое выпуклое уравновешенное множество $W$, которое порождает полунорму $p$. Покажем, что это на самом деле норма. Т.е. если $x \neq 0$, то $p(x) \neq 0$.
Действительно, $W \bigcap E = B_1$. А значит на $E$ полунорма $p$ и норма $|\cdot |$ совпадают.
Пусть $x \not \in E$. По теореме Хана-Банаха найдется непрерывный относительно $\|\cdot \|$ функционал $\varphi$ такой, что $\varphi(x) = 1$ и $\varphi(E) = 0$. (Вот здесь нужна замкнутость $E$). Обозначим его норму через $A$. Покажем, что $(A+1)x \not \in W$. От противного. Пусть для всякого $\varepsilon > 0$ имеет место равенство $\alpha y + (1 - \alpha)e = (A+1)x + z$, с некоторыми $0 \leqslant \alpha \leqslant 1$, $y \in B_0$, $e \in B_1$, $\|z\| < \varepsilon$. Отсюда легко получаем

$$\alpha \varphi(y) = (A+1)\varphi(x)+ \varphi(z)$$

$$(A+1) \leqslant (\alpha A +\varepsilon)$$

противоречие.
Следовательно, $p(x) \geqslant \frac {1}{A+1}$.
Вроде так.

-- Ср май 13, 2015 22:05:27 --

P.S. Пространство $E$ замкнуто в $X$ относительно нормы $\|\cdot \|$.

-- Ср май 13, 2015 22:49:58 --

Тут есть еще один "скользкий" момент. Равенство $W \bigcap E = B_1$. Докажем его. Пусть $x \in W \bigcap E$. На $E$ найдется функционал $\varphi$ такой, что $|\varphi (e)| \leqslant |e|$ для всех $e \in E$ и $\varphi (x) = |x|$. По условию на нормы имеем $|\varphi (e)| \leqslant \|e\|$ для всех $e \in E$. А значит этот функционал можно продолжить на все $X$ с сохранением этого неравенства. Пусть как и раньше $\alpha y + (1- \alpha) e = x + z$. Тогда

$$ |x| = \varphi (x) \leqslant \alpha \|y\| + (1- \alpha) |e| + \varepsilon \|\varphi \|$$

Устремляя $\varepsilon \to 0$, получим $|x| \leqslant 1$.

[sup]

В сепарабельном банаховом пространстве $X$ норму можно ослабить путем вложения в гильбертово. Вопрос вложения нормированного пространства в гильбертово обсуждался в этой теме. И был предъявлен контрпример.
Но для сепарабельного пространства вопрос решается. По т. Банаха-Мазура $X$ изометрически изоморфно некоторому подпространству в $C[0,1]$. Тогда на нем можно ввести подчиненную норму $L_2(0,1)$. Если она окажется слабее исходной, то вопрос решен. А если эквивалентна, то уж ослабить норму в $L_2(0,1)$ не представляет труда.

[Oleg Zubelevich]

Продолжаем поток сознания. Краткое содержание предыдущей серии:

Oleg Zubelevich в сообщении #1013825 писал(а):

у меня есть еще одна мыслЯ, но это уже в порядке полного бреда. Пусть $B'$ -- единичный шар пространства $X'$, он $\sigma(X',X)$-компактен. Пусть $\mu$ борелевская мера, такая, что для каждого непуустого открытого подмножества $U\subset B'$ будет $\mu(U)>0,\quad \mu(B')=1.$
Рассмотрим функцию $x(f)=(f,x),\quad x:B'\to\mathbb{R},\quad (x\in X)$ и введем норму формулой $\|x\|_*=\int_{B'}|x(f)|d\mu=\|x\|_{L^1_\mu(B')}$ Доказать, что эта норма слабее исходной я не умею

из теоремы Хана-Банаха следует, что $\|x\|'=\max_{f\in B'}|x(f)|=\|x\|_X$, можно ли сказать, что $\|x\|'=\|x\|_{L^\infty_\mu(B')}$ а толку-то с этого... Вообщем поток сознания

Пространство $L^2_\mu(B')$ сепарабельно (?), поскольку $B'$ -- компакт и мера финитная. При этом $\|x\|_{L^2_\mu(B')}\le \|x\|_{L^\infty_\mu(B')}=\|x\|_X.$
Через $W\subseteq L^2_\mu(B')$ обозначим пространство функций указанного выше вида: $f\mapsto(f,x)$. Возможны два варианта.
1) Пространство $W$ замкнуто в $L^2_\mu(B')$ тогда $W$ -- гильбертово ,сепарабельное. Ослабляем норму в $W$ это легко.
2) $W$ не замкнуто, но тогда норма $\|\cdot\|_{L^2_\mu(B')}$ заведомо слабее нормы $\|x\|_X$. Последнее заключение верно по крайней мере если $X$ -- банахово.


Вроде не проврался Получается, что в любом банаховом пространстве норма ослабляется

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #1013825 писал(а):

Пусть $\mu$ борелевская мера, такая, что для каждого непуустого открытого подмножества $U\subset B'$ будет $\mu(U)>0,\quad \mu(B')=1.$

Можно этот момент немного более подробно? Открытого в какой топологии?

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #1015273 писал(а):

ожно этот момент немного более подробно? Открытого в какой топологии?

Oleg Zubelevich в сообщении #1015271 писал(а):

он $\sigma(X',X)$

(Оффтоп)

g______d
видимо хотел мне поведать о сложностях, которые возникают при определении меры на бесконечномерных банаховых пространствах Но накомпактах меры строятся легко и проблематика тут другая

Вопрос в том, почему мера с указанным свойством (положительность на открытых множествах) существует? Не знаю, надо разбираться (скорее всего, это устанавливается методами Л Шварц "Анализ" ). И другой вопрос: почему на пространстве функций вида $f\mapsto(f,x)$ (на $W$ то есть) норма $\|\cdot\|_{L^2}$ является нормой, а не полунормой. Это тоже пробел в рассуждении. И надеюсь это доказывается из приведенного свойства положительности меры на открытых множествах

[sup]

А не получится так, что тогда всякое банахово пространство вкладывается в гильбертово? Мы же знаем, что это не так.

-- Пт май 15, 2015 11:11:32 --

Может как-то так. Выделим спец. подмножество $M \subset B'$. На нем вводим меру и затем полунорму $L_2$. А на оставшемся множестве $B' \setminus M$ применяем $\sup$-норму. Она порождает вторую полунорму. Берем их сумму. Вот эта гибридная норма и будет искомой. При необходимости будем ослаблять полунорму $L_2$. Тут, конечно, тоже есть ряд вопросов.