Сепарабельность гильбертовых пространств

[vladb314]

Пусть $w(x)$ - положительная измеримая по Лебегу функция. Определим на множестве всех измеримых по Лебегу подмножеств множества $\mathbb{R}$ меру

$$\mu A = \int_A w(x)dx.$$

Является ли гильбертово пространство $L_2(\mathbb{R},\mu)$ сепарабельным?

В случае $L_2([a,b],\mu)$ всё понятно. Мера Лебега на отрезке имеет счётный базис, например, представляющий кольцо $\mathfrak{R}$, порождённое всеми интервалами с рациональными концами этого отрезка. Поэтому любое измеримое множество из $[a,b]$ можно сколь угодно точно приблизить множествами из $\mathfrak{R}$. Тогда в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега значение $\mu A$ можно сколь угодно точно приблизить значением $\mu B$, где $B \in \mathfrak{R}$. Т.е. $\mathfrak{R}$ является счётным базисом и для меры $\mu$, и пространство $L_2([a,b],\mu)$ оказывается сепарабельным. А вот как быть с $L_2(\mathbb{R},\mu)$? Мера $\mu \mathbb{R} = +\infty$, и на $\mathbb{R}$ нет счётного базиса? Я что-то туплю...

[demolishka]

Видимо если потребовать суммируемости $w(x)$ на каждом ограниченном подмножестве, то все будет нормально.

В общем идея такая: для начала показываем, что мы умеем приближать ступеньками с индикаторами по ограниченным множествам. Делается это так: выкидываем отрезок $[-N;N]$ достаточно большого радиуса(настолько большого, чтобы интеграл по остатку от функции стал маленьким), а внутри отрезка приближаем простыми функциями с нужной точностью. Теперь покажем, что индикатор по ограниченному множеству можно приблизить финитной непрерывной функцией. Для этого используется конструкция Урысона (здесь нужна ограниченность множеств у индикатора). Теперь мы умеем приближать финитными непрерывными. Теперь покажем, что умеем приближать простыми с индикаторами по ячейкам (ячейкой называется полуинтервал вида $[a;b)$). Для начала возьмем финитную непрерывную $g$ - у нее носитель лежит в отрезке $[-N;N]$. Она непрерывна, а значит и равномерно непрерывна на $[-N;N]$. Теперь осталось разбить $[-N;N]$ на маленькие ячейки и построить простую вида $\sum g(a_k)\chi_{P_k}$. В оценке нам и потребуется конечность $\mu(A)$ для ограниченных множеств $A$. Эта простая функция будет являться искомой. Ну и теперь осталось взять простые функции с индикаторами по ячейкам с рациональными концами. Всё это работает и для $\mathbb{R}^n$ если заменить отрезочки на шары/кубы соответствующего радиуса.

[vladb314]

demolishka, всё понятно. С этим случаем разобрались.

Осталось ещё два вопроса.

1. Всё-таки, как быть в случае, если на каких-то множествах $A$ $\int_A w(x)dx$=+\infty? Существуют ли такие положительные измеримые функции $w(x)$, что пространство $L_2(\mathbb{R},\mu)$ не будет сепарабельным?

2. И есть ли счётный базис у меры Лебега на $\mathbb{R}$?

[demolishka]

Давайте разберем про счетный базис. На $\mathbb{R}$ он конечно же есть. Достаточно разбить $\mathbb{R}$ на счетное число отрезков и для каждого взять счетный базис. На каждом из отрезков мы можем приблизить с точностью $\varepsilon/2^k$, где $k$ - номер отрезка. А значит в общем случае приблизим с точностью $\varepsilon$.

Другое дело, что слова про абсолютную непрерывность интеграла Лебега работают в случае с суммируемой на множестве функцией.

Так что если $w(x)$ не суммируема на всех ограниченных подмножествах, это означает лишь то, что простые функции с индикаторами по ячейкам с рациональными концами не являются всюду плотным множеством(это можно показать).

[vladb314]

demolishka в сообщении #1014948 писал(а):

Давайте разберем про счетный базис. На $\mathbb{R}$ он конечно же есть. Достаточно разбить $\mathbb{R}$ на счетное число отрезков и для каждого взять счетный базис. На каждом из отрезков мы можем приблизить с точностью $\varepsilon/2^k$, где $k$ - номер отрезка. А значит в общем случае приблизим с точностью $\varepsilon$.

Ага, да, согласен.

demolishka в сообщении #1014948 писал(а):

Другое дело, что слова про абсолютную непрерывность интеграла Лебега работают в случае с суммируемой на множестве функцией.

Да, действительно. Поэтому в случае не суммируемой функции вопрос остаётся даже для пространства $L_2([a,b],\mu)$.

demolishka в сообщении #1014948 писал(а):

Так что если $w(x)$ не суммируема на всех ограниченных подмножествах, это означает лишь то, что простые функции с индикаторами по ячейкам с рациональными концами не являются всюду плотным множеством(это можно показать).

Ладно, допустим. Но это ведь не является основанием, что не существует какого-нибудь другого счётного всюду плотного множества? Может быть как-нибудь попробовать установить счётный базис меры $\mu$? А это будет достаточным условием сепарабельности $L_2([a,b],\mu)$.

[demolishka]

vladb314 в сообщении #1015054 писал(а):

Но это ведь не является основанием, что не существует какого-нибудь другого счётного всюду плотного множества?

Пока что нет.
Но я всё же склоняюсь к варианту, что другого всюду плотного быть не может. В Колмогорове-Фомине эти слова со счетным базисом появляются из-за общности излагаемой теории: $(X,\mu)$ - произвольное пространство с мерой. На прямой же всё прозрачно: если не ячейки, то что?

[g______d]

demolishka в сообщении #1014948 писал(а):

Другое дело, что слова про абсолютную непрерывность интеграла Лебега работают в случае с суммируемой на множестве функцией.

vladb314 в сообщении #1015054 писал(а):

Да, действительно. Поэтому в случае не суммируемой функции вопрос остаётся даже для пространства $L_2([a,b],\mu)$.

Лучше применить абсолютную непрерывность не к $w$, а к $w|f|^2$, где $f$ -- произвольная функция из $L^2(\mathbb R,\mu)$, которую мы хотим приблизить.

[vladb314]

demolishka в сообщении #1014948 писал(а):

Так что если $w(x)$ не суммируема на всех ограниченных подмножествах, это означает лишь то, что простые функции с индикаторами по ячейкам с рациональными концами не являются всюду плотным множеством(это можно показать).

Пусть $w(x)=\frac{1}{|x|}+1$, если $x\neq0$, и $w(0)=1$. Функция $w(x)$ не суммируема в любой окрестности точки $x=0$. Рассмотрим пространство $L_{2,w}$. Так как $w(x)\geq 1$, то

$$f\in L_{2,w} \Leftrightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} f^2(x)w(x)dx < +\infty;$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f^2(x)dx \leq \int_{-\infty}^{+\infty} f^2(x)w(x)dx < +\infty;$$

$$f\in L_{2,w} \Rightarrow f\in L_2;$$

$$L_{2,w} \subseteq L_2.$$

Т.е. $L_{2,w}$ - подпространство пространства $L_2$. Так как известно, что $L_2$ сепарабельно и любое подпространство сепарабельного пространства сепарабельно, то $L_{2,w}$ также сепарабельно.

Так что хоть простые индикаторы по ячейкам не образуют базис, а пространство, тем не менее, сепарабельно, так?

[grizzly]

vladb314 в сообщении #1016288 писал(а):

и любое подпространство сепарабельного пространства сепарабельно

Ну-ну ...

[demolishka]

vladb314, Вы показали, что в данном случае $L_{2,w}$ сепарабельно как пространство с метрикой $L_{2}$. А метрики $L_{2,w}$ и $L_{2}$ не эквивалентны.

g______d в сообщении #1015232 писал(а):

Лучше применить абсолютную непрерывность не к $w$, а к $w|f|^2$, где $f$ -- произвольная функция из $L^2(\mathbb R,\mu)$, которую мы хотим приблизить.

Не совсем понятно как это может помочь.

[g______d]

demolishka в сообщении #1016332 писал(а):

Не совсем понятно как это может помочь.

Если $w$ ограничена, то все понятно. Если нет, то рассмотрите её срезки по области значений. Получится, что она ограничена везде, кроме множества маленькой меры. Интеграл от $w|f|^2$ (а не от самой $w$) по множеству маленькой меры маленький.

[vladb314]

demolishka в сообщении #1016332 писал(а):

vladb314, Вы показали, что в данном случае $L_{2,w}$ сепарабельно как пространство с метрикой $L_{2}$. А метрики $L_{2,w}$ и $L_{2}$ не эквивалентны.

А, вон оно что! Понятно, спасибо.

-- Вс май 17, 2015 20:25:30 --

g______d в сообщении #1016337 писал(а):

demolishka в сообщении #1016332 писал(а):

Не совсем понятно как это может помочь.

Если $w$ ограничена, то все понятно. Если нет, то рассмотрите её срезки по области значений. Получится, что она ограничена везде, кроме множества маленькой меры. Интеграл от $w|f|^2$ (а не от самой $w$) по множеству маленькой меры маленький.

Но ведь есть функции с совсем "патологическим" поведением: неограниченные в любом интервале; плотно заполняющие всю верхнюю полуплоскость (т.к. рассматриваем только $w(x)>0$); очень плотно заполняющие всю верхнюю полуплоскость: в любой окрестности любой точки верхней полуплоскости содержится континуум точек графика функции. Я так понимаю, у вас охватывается важный случай функций, которые почти всюду конечны. А как быть в остальных случаях?

[g______d]

vladb314 в сообщении #1016402 писал(а):

Я так понимаю, у вас охватывается важный случай функций, которые почти всюду конечны. А как быть в остальных случаях?

Если функция $w$ не является почти везде конечной, то разбейте интервал на два множества: на первом $w(x)\neq \pm\infty$, на втором $w(x)=\pm\infty$. Что можно сказать про функцию $f$ на втором множестве, если известно, что интеграл $w|f|^2$ сходится?

[demolishka]

В общем, конструкция получается следующая. Имеется $f \in L_{2,w}$, которую нужно приблизить. Рассмотрим срезки веса $w$: $w_n(x) = \min\{w(x),n\}$. Имеем $\int\limits_{\mathbb{R}} w_n(x)f^2(x)dx \to \int\limits_{\mathbb{R}}w(x)f^2(x)dx$. Значит, для какого-то номера $N$ выполнено $|\int\limits_{\mathbb{R}} w_N(x)f^2(x)dx - \int\limits_{\mathbb{R}}w(x)f^2(x)dx| < \varepsilon$. Теперь рассмотрим $f$ как элемент $L_{2,w_N}$. Так как $w_N(x)$ суммируема на каждом ограниченном подмножестве прямой, то, как уже было сказано выше, $L_{2,w_N}$ - сепарабельно (более того - линейные комбинации индикаторов по ячейкам с рациональными концами являются счетным всюду плотным множеством - независимость от $N$, хоть это и не важно). Значит, найдется $g$ из счетного всюду плотного множества: $|\int\limits_{\mathbb{R}}w_N(x)(f-g)^2(x)dx| < \varepsilon.$ Рассмотрим следующую функцию

$$\varphi(x) = \begin{cases} & g(x) \text{, если } x \in w^{-1}\left([0;N]\right) \\ & 0 \text{, иначе} \end{cases}$$

Тогда $\|\varphi-f\|_{L_{2,w}} < 2 \varepsilon$. Теперь вопрос к vladb314. Как будет выглядеть счетное всюду плотное множество для $L_{2,w}$?

[Oleg Zubelevich]

Там теорема есть типа того: если мера $\sigma$- конечна то $L^p,\quad 1\le p<\infty$ сепарабельно