БИХ-фильтр с положительной импульсной характеристикой

[B@R5uk]

Возникла острая необходимость находить нечто вроде среднеквадратичной амплитуды сигнала очень быстро (эффективно в вычислительном плане). Спектр анализируемого сигнала лежит выше некоторой частоты среза (подвергнут предварительно фильтрации $f_h$), его планируется возвести в квадрат и отфильтровать так, чтобы остался диапазон частот ниже частоты $f_l$, которая в свою очередь раза в два-три меньше частоты $f_h$. Разумеется, для второй фильтрации так же хочется приспособить БИХ-фильтр с частотной характеристикой, имеющей резкий спад на частоте $f_l$.

Однако тут возникает проблема: мощность — величина существенно положительная. А все фильтры нижних частот (кроме первого порядка), рассчитанные по стандартным схемам (эллиптический, Чебышева 1-й и 2-й, Баттерворта) имеют на своей импульсной характеристике участки, где отклик меньше нуля. Это означает, что при применении этих фильтров на неудачных входных данных выходная средняя мощность окажется отрицательной, а среднеквадратичная амплитуда — вообще комплексное число, что совершенно некорректно.

Существует ли способ рассчитать БИХ-фильтр порядка выше первого, чтобы его импульсная характеристика была положительна?

[levtsn]

Если свернуть несколько импульсных откликов фильтра первого порядка, результат не отрицательный.

[B@R5uk]

Другими словами, все нули и полюса желаемого БИХ-фильтра обязаны лежать на действительной прямой?

[B@R5uk]

Поигравшись продолжительное время с синтезом фильтров я пришёл к эмпирическому правилу: если один или два полюса являются действительными, а расстояние от нуля на Z-плоскости у остальных комплексно-сопряжённых полюсов меньше или равно этим первым действительным, то импульсная характеристика фильтра получается существенно положительной. Положение нулей при этом особого значения не имеет (в разумных пределах). Это иллюстрируется двумя картинками:





Затем, требование на максимально быстрое затухание в переходной области между полосой пропускания и полосой подавления ФНЧ приводит к тому, что оптимальнее все полюса разместить на нулевой частоте, то есть сделать их действительными. Это эквивалентно последовательному включению нескольких фильтров первого порядка, если бы нули тоже были действительными (как предложил пользователь levtsn).

Однако, именно нули гораздо оптимальнее расположить не на единичной частоте (то есть не на частоте половины частоты дискритизации), а более-менее равномерно по всей единичной окружности в z-плоскости так, чтобы подавление было максимальным и равномерным во всей полосе подавления. Частота среза по уровню -3 дБ при этом регулируется близостью полюсов к единичной окружности (чем ближе, тем меньше частота среза). Для фильтра 3-го порядка получается что-то такое:



Для синтеза фильтра необходимо задать следующие величины:
— порядок фильтра;
— частоту среза по уровню -3 дБ;
— величину подавления в полосе подавления.
Вне зависимости от этих параметров предлагаемый мною фильтр с положительной импульсной характеристикой будет обладать следующими свойствами:
— все полюса имеют нулевую частоту
— нули расположены по единичной окружности на z-плоскости парами (если порядок нечётный, то один ноль имеет единичную частоту), так, чтобы величина осцилляций в полосе подавления была постоянна.

[B@R5uk]

Передаточные функции для чётного и нечётного порядков

$${{H}_{odd}}\left( z \right)=\frac{G\left( 1+{{z}^{-1}} \right)\prod\limits_{k=1}^{m}{\left( 1-2{{z}^{-1}}\cos {{\omega }_{k}}+{{z}^{-2}} \right)}}{{{\left( 1-\rho {{z}^{-1}} \right)}^{2m+1}}}$$

$$\[{{H}_{even}}\left( z \right)=\frac{G\prod\limits_{k=1}^{m}{\left( 1-2{{z}^{-1}}\cos {{\omega }_{k}}+{{z}^{-2}} \right)}}{{{\left( 1-\rho {{z}^{-1}} \right)}^{2m}}}\]$$

$$\[0<{{\omega }_{k}}<\pi \]$$

Здесь ${\omega }_{k}$ — частоты нулей.