Норма Линейного оператора. Функ.Ан.

[Otta]

Оценку сверху как получаете. Очень подробно напишите. Можно не здесь. Можно здесь.

[Slow]

Dimitrij
Я имел ввиду норму $x(t)$

[demolishka]

Dimitrij в сообщении #1014742 писал(а):

$-x(0)+\int_0^1x'(c)tdt=-x(0)+x'(c)\frac{1}{2}$

Да нет здесь равенства. Вы теорему Лагранжа применяете для точек $0$ и $t$, а значит и точка $c$ на самом деле зависит от $t$. Соберите все советы вместе и оцените уже наконец $|f(x)|$.

[Otta]

Dimitrij в сообщении #1014742 писал(а):

$-x(0)+\int_0^1x'(c)tdt=-x(0)+x'(c)\frac{1}{2}$

И обратите внимание, на каком промежутке у Вас расположена точка $c$. Это не константа, вынести ее из-под интеграла не получится.

О, сорри за повтор.

[Dimitrij]

Такс, понял. Вот что получаю. $|f(x)|\le|x(0)|+\int_0^1|x'(c(t))||t|dt$, дальше Коши-Буняковский. $|f(x)|\le|x(0)|+\sqrt{\int_0^1|x'(c)|^2dt}\sqrt{\int_0^1t^2dt}=|x(0)|+\frac{1}{3}\sqrt{\int_0^1|x'(c)|^2dt}$. Дальше я делаю оценки $|x(0)|\le\max_{t\in[0,1]}|x(t)|$ и $|x'(c)|\le\max_{t\in[0,1]}|x'(t)|$. Получаю в итоге $|f(x)| \le \max_{t\in[0,1]}|x(t)| +\frac{1}{3} \max_{t\in[0,1]}|x'(t)|$. Можно взять и написать грубую оценку: $|f(x)| \le \frac{4}{3}||x||_{C^1}$. Может быть можно через Неравенство Гёльдера более точно оценить, но там какие-то совсем противные оценки получаются.

-- 14.05.2015, 12:56 --

Хотя нет, нельзя. Что какие бы я там $q$ и $p$ не подставлял, все равно получается, что Коши-Буняковский более точно оценили. Maple помог. Но все же, вот есть оценки на модуль,а как супремум-то найти. Дальше я вообще не понимаю, что делать .

[demolishka]

Dimitrij, напишите какую норму в пространстве $C^1$ Вы используете.

[Koncopd]

Такой вопрос - разве можно в данном случае применить неравенство Коши-Буняковского таково вида?

[Dimitrij]

demolishka, она дана в условии. $||x||_{C^1} = \max|x(t)|+\max|x'(t)|$. Вот такую.

[demolishka]

Dimitrij, и что же выражение

Dimitrij в сообщении #1014916 писал(а):

$\max_{t\in[0,1]}|x(t)| +\frac{1}{3} \max_{t\in[0,1]}|x'(t)|$.

нельзя оценить ничем лучшим, чем $\frac43 \|x\|$?

Koncopd в сообщении #1014960 писал(а):

Такой вопрос - разве можно в данном случае применить неравенство Коши-Буняковского таково вида?

Можно, но не нужно. Что вас смущает? Измеримость и суммируемость $x'(c(t))$? Это следует из равенства $x'(c(t))=\frac{x(t)-x(0)}{t}$ (справа непрерывная функция).

[Dimitrij]

demolishka
На ум приходит только привести к общему знаменателю, получится $\frac{1}{3}||x||_{C^1}+\frac{2}{3}\max_{t \in [0,1]}|x(t)|$. А вы могли бы сказать,почему его тут не нужно применять, я не знаю, как еще тут можно оценить(Про неравенство Коши-Буняковского)

[demolishka]

Есть два неотрицательных числа $a$ и $b$. Как соотносятся величины $a+\frac13b$ и $a+b$?

[Koncopd]

(Оффтоп)

здесь можно удалять свои сообщения? например, вот это

[Dimitrij]

demolishka
Хорошо, $|f(x)| \le ||x||_{C^1}$. Но я не верю в то, что норма функционала, это 1.

-- 14.05.2015, 15:20 --

Koncopd
$\sqrt{\int_0^1(|x'(c)|)^2dt}=\sqrt{(\max_{t \in [0,1]}|x'(t)|)^2\int_0^11dt}$

[demolishka]

Dimitrij, перечитайте свое стартовое сообщение. У вас там получена оценка снизу на норму функционала.

[Dimitrij]

demolishka
Это да, я ее получил из вот таких соображений $||f|| \ge \frac{|f(x)|}{||x||}$. Взял $x(t)=-1$ на отрезке $[0,1]$. Просто, либо препод меня обманул, сказав мне, что там очень противное число будет, либо я без понятия.
И я могу взять $x(t)=t/2$, тогда получу, что $||f|| \ge \frac{1}{4}$. В общем, либо я где-то очень сильно ошибаюсь, либо я просто не понимаю сути...