Я понимаю, что значит вырезать из тора букет двух окружностей и стянуть образовавшуюся дыру в точку
Не надо выреза́ть. Надо стягивать, не вырезая.
Я себе представляю так. Сначала можно стянуть одну часть букета, и посмотреть, что получится - и какое положение в этом промежуточном результате будет занимать вторая часть букета. Потом стянуть и её.
Как это формально делается - хотел бы я знать! Увы, я сам всё это не знаю на уровне расчётной техники. Можно использовать, например, числовые пространства (как например, множества в
), можно - симплициальные комплексы,
-комплексы, можно - другие клеточные пространства. Но ни один из этих методов я не освоил до уровня техники, увы.
Зато, раз у вас развитое образное мышление, вам как раз легче должно быть освоить рассуждения по типу "легко видеть" :-)
В первом примере (из "сложных") мы ведь факторизуем цилиндр по "петельке с веревочкой" (одномерная сфера с отрезком), пока что представляется какая-то кривая поверхность, названия которой я не знаю.
Давайте сначала стянем "петельку", которая идёт по горловине цилиндра. Получится конус. "Верёвочка" идёт по образующей конуса, от вершины до основания. Можно раскрыть конус в диск, и тогда "верёвочка" просто стянет центр диска с краем, и в итоге всё равно останется диск.
даже с тором, профакторизованным по букету двух одномерных сфер, не могу понять, почему получается сфера
Сначала вложим тор в трёхмерное пространство как "бублик". Наш букет расположится на нём в виде одного "меридиана" и одной "параллели", так?
Перетянем бублик по меридиану. Получится "колбаска", загнутая в кольцо, с соединёнными концами.
Промежуточная операция. Вытянем точку соединения "колбаски" в "верёвочку". Получится сфера с "верёвочной ручкой". Где у нас на ней бывшая "параллель бублика", вторая часть букета? Она частично проходит по "верёвочной ручке", а потом, по поверхности сферы, замыкается в кольцо.
Стянем эту "бывшую параллель" в точку. Со сферой ничего не случится, а вот "верёвочная ручка" пропадёт. Останется просто сфера.
(Можно провести стягивание и в другом порядке, но тогда надо будет "смотреть изнутри" на поверхность, получившуюся "внутри бублика" - это труднее для интуиции.)
У меня получается так.
12.05.2015, 18:31 
![$[0,1]/[0,\tfrac{1}{2}]=?$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/4/8e4e707b7bbc85be317d0d600a83c7aa82.png "$[0,1]/[0,\tfrac{1}{2}]=?$")
![$[\tfrac{1}{2},1]\cong[0,1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/2/9329d87cb89b5b533ab019cc484831f082.png "$[\tfrac{1}{2},1]\cong[0,1]$")
![$[0,1]/\{0,1\}=?$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/2/1c235b1cd26cdcf2df473df984d5cee582.png "$[0,1]/\{0,1\}=?$")
, а что 
?
у меня 
является пространством 
является пространством 
). Заметается бублик (при этом окружность слегка меняется в радиусе, но это несущественно - это искажение возникло, когда мы укладывали тор из четырёхмерного пространства в трёхмерное). Но на окружности была отмечена отчка. Во что она переходит? В меридиан на бублике.
(оно же - нетривиальное расслоение), когда одна окружность идёт по меридиану, а другая - не по параллели, а "навивается наискосок" по бублику. Эти темы стоит отложить до соответствующих предметов.)
можно выделить как конечную точку, так и точку в середине, и тогда результат будет разный. Я как-то всё время автоматически подразумевал выделенной конечную точку.
), то тогда 
будет двумя дисками, соединёнными в букет по краю (почему?).
, 
(ибо однозначно определяется букет) (может мы допускаем где-то неточность в определении букета, или я ошибаюсь?)
. У нас есть отрезок и окружность, мы берем их прямое произведение, получаем поверхность цилиндра. Как Вы и сказали, букет тут будет окружность основания и одна образующая цилиндра (отмечено жирным).![\begin{tikzpicture}
\draw[line width=2,dashed] (0,0) ellipse (2 and 1);
\begin{scope}
\clip (-2.1,0)--(2.1,0)--(2.1,-1.1)--(-2.1,-1.1)--cycle;
\draw[line width=2] (0,0) ellipse (2 and 1);
\end{scope}
\draw (0,5) ellipse (2 and 1);
\draw[line width=2] (1,-0.85)--(1,4.15);
\draw (2,0)--(2,5);
\draw (-2,0)--(-2,5);
\end{tikzpicture}](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/e/3de774a035127ca209879da19832cf3882.png "\begin{tikzpicture}
\draw[line width=2,dashed] (0,0) ellipse (2 and 1);
\begin{scope}
\clip (-2.1,0)--(2.1,0)--(2.1,-1.1)--(-2.1,-1.1)--cycle;
\draw[line width=2] (0,0) ellipse (2 and 1);
\end{scope}
\draw (0,5) ellipse (2 and 1);
\draw[line width=2] (1,-0.85)--(1,4.15);
\draw (2,0)--(2,5);
\draw (-2,0)--(-2,5);
\end{tikzpicture}")
![\begin{tikzpicture}
\draw[line width=2] (0,0) circle (1pt);
\draw (0,5) ellipse (2 and 1);
\draw[line width=2] (0,0)--(1,4.15);
\draw (0,0)--(1.9,4.7);
\draw (0,0)--(-1.9,4.7);
\end{tikzpicture}](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/b/45bc33095724a164a1e47ca194b9bcff82.png "\begin{tikzpicture}
\draw[line width=2] (0,0) circle (1pt);
\draw (0,5) ellipse (2 and 1);
\draw[line width=2] (0,0)--(1,4.15);
\draw (0,0)--(1.9,4.7);
\draw (0,0)--(-1.9,4.7);
\end{tikzpicture}")
![\begin{tikzpicture}
\draw[line width=2] (0,0) circle (1pt);
\begin{scope}
\clip (0,4)--(1.9,4.7)--(2.1,4.7)--(2.1,6.1)--(-2.1,6.1)--(-2.1,4.1)--cycle;
\draw (0,5) ellipse (2 and 1);
\end{scope}
\draw (0,4) to[out=0,in=90] (0.8, 3.32);
\draw (1.9,4.7) to[out=240,in=70] (0.8, 3.32);
\draw[line width=2] (0,0)--(0.8,3.32);
\draw (0,0)--(1.9,4.7);
\draw (0,0)--(-1.9,4.7);
\end{tikzpicture}](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/a/5aa54315c8018176eda8e423c614ea3582.png "\begin{tikzpicture}
\draw[line width=2] (0,0) circle (1pt);
\begin{scope}
\clip (0,4)--(1.9,4.7)--(2.1,4.7)--(2.1,6.1)--(-2.1,6.1)--(-2.1,4.1)--cycle;
\draw (0,5) ellipse (2 and 1);
\end{scope}
\draw (0,4) to[out=0,in=90] (0.8, 3.32);
\draw (1.9,4.7) to[out=240,in=70] (0.8, 3.32);
\draw[line width=2] (0,0)--(0.8,3.32);
\draw (0,0)--(1.9,4.7);
\draw (0,0)--(-1.9,4.7);
\end{tikzpicture}")
![\begin{tikzpicture}
\draw[line width=2] (0,0) circle (1pt);
\begin{scope}
\clip (0,4)--(1.9,4.7)--(2.1,4.7)--(2.1,6.1)--(-2.1,6.1)--(-2.1,4.1)--cycle;
\draw (0,5) ellipse (2 and 1);
\end{scope}
\draw (0,4) to[out=0,in=85] (0.3, 1.245);
\draw (1.9,4.7) to[out=240,in=70] (0.3, 1.245);
\draw[line width=2] (0,0)--(0.3,1.245);
\draw (0,0)--(1.9,4.7);
\draw (0,0)--(-1.9,4.7);
\end{tikzpicture}](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/f/43f58ceabc41de37bfee403a8ec9e37082.png "\begin{tikzpicture}
\draw[line width=2] (0,0) circle (1pt);
\begin{scope}
\clip (0,4)--(1.9,4.7)--(2.1,4.7)--(2.1,6.1)--(-2.1,6.1)--(-2.1,4.1)--cycle;
\draw (0,5) ellipse (2 and 1);
\end{scope}
\draw (0,4) to[out=0,in=85] (0.3, 1.245);
\draw (1.9,4.7) to[out=240,in=70] (0.3, 1.245);
\draw[line width=2] (0,0)--(0.3,1.245);
\draw (0,0)--(1.9,4.7);
\draw (0,0)--(-1.9,4.7);
\end{tikzpicture}")
![\begin{tikzpicture}
\draw[line width=2] (0,0) circle (1pt);
\begin{scope}
\clip (0,4)--(1.9,4.7)--(2.1,4.7)--(2.1,6.1)--(-2.1,6.1)--(-2.1,4.1)--cycle;
\draw (0,5) ellipse (2 and 1);
\end{scope}
\draw (0,4) to[out=0,in=82] (0, 0);
\draw (1.9,4.7) to[out=240,in=72] (0, 0);
\draw (0,0)--(1.9,4.7);
\draw (0,0)--(-1.9,4.7);
\end{tikzpicture}](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/6/ae6f28e55e0ade8593ffaacfe50ef3e782.png "\begin{tikzpicture}
\draw[line width=2] (0,0) circle (1pt);
\begin{scope}
\clip (0,4)--(1.9,4.7)--(2.1,4.7)--(2.1,6.1)--(-2.1,6.1)--(-2.1,4.1)--cycle;
\draw (0,5) ellipse (2 and 1);
\end{scope}
\draw (0,4) to[out=0,in=82] (0, 0);
\draw (1.9,4.7) to[out=240,in=72] (0, 0);
\draw (0,0)--(1.9,4.7);
\draw (0,0)--(-1.9,4.7);
\end{tikzpicture}")