Смеш-произведение

[maximk]

Помогите пожалуйста разобраться в определении смеш-произведения (приведенного произведения / тензорного произведения), которое определяется в учебниках как факторизация декартового произведения этих пространств по их букету, да и вообще в понятии факторизации. Сколько не читал определения (топологические, алгебраические), так до конца и не уяснил смысл факторизации, хотя в принципе для групп это понятие в голове укладывается.

[Munin]

Факторизация - это обобщение понятия деления.

Допустим, у вас есть 25 апельсинов. Вы их делите на 5. Это значит, что вы их раскладываете на 5 коробок по 5 апельсинов, примерно так:

$$\begin{array}{|c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c|}\hline\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc\\\hline\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc\\\hline\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc\\\hline\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc\\\hline\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc\\\hline\end{array}$$

То есть, деление можно представлять себе как разбиение множества на классы (подмножества), и потом мы думаем уже про эти классы как про отдельные элементы: у нас не 25 апельсинов, а 5 коробок.

В алгебре факторизация требует, чтобы классы были в некотором смысле "одинаковые", так что если мы факторизуем группу по подгруппе ("помещающейся в одной коробке"), то в итоге классы тоже должны образовывать некоторую группу - фактор-группу ("группу, образованную из коробок").

В топологии "одинаковости" не требуется, топология на другом сосредоточена. В итоге, можно сделать так: все точки топологического пространства "разложить по разным коробкам", кроме некоторого подмножества, которое всё "свалить в одну коробку". Что тогда получится? Топология рассматривает близость точек, и эти точки подмножества оказываются "бесконечно близки", неразличимы, "склеены" в новой топологии ("топологии, образованной из коробок"). А больше ничего не произойдёт.

Так что, слово "факторизация" - это некая общая идея (factor = "множитель", и "факторизация" = "разложение на множители"), а вот что конкретно она означает в каждом отдельном случае, надо смотреть отдельно.

[maximk]

Munin, спасибо, понял, но в основном на таком уровне понимания я и остановился. Например, двумерная сфера, профакторизованная по нульмерной, это что за множество?
А понятие букета пространств вам ведь наверняка известно? Букет пространств, грубо говоря, - склейка этих пространств по отмеченной точке (у каждого пространства берется по фиксированной отмеченной точке, после чего все эти отмеченные точки отождествляются). Тогда как можно себе понимать факторизацию декартова произведения по букету, что это за множество? Множество гомотопических классов эквивалентности петель?

[Munin]

maximk в сообщении #1012526 писал(а):

Munin, спасибо, понял, но в основном на таком уровне понимания я и остановился. Например, двумерная сфера, профакторизованная по нульмерной, это что за множество?

Нульмерная сфера - это две точки, насколько я помню. Значит, надо профакторизовать $S^2$ по $\mathbb{Z}_2.$ Это, очевидно, в алгебраическом смысле.

Берём для каждой точки на сфере - её противоположную точку. Для каждой точки такая только одна. Потом эти пары точек "склеиваем" воедино. Получается полусфера - она же проективная плоскость.

Точно в таком же смысле, $S^n/S^0=RP^n.$ А вот по другим сферам факторизация бывает возможна далеко не всегда. Отдельные примеры имеют собственные названия, например, $S^3/S^1$ - (рас)слоение Хопфа.

maximk в сообщении #1012526 писал(а):

А понятие букета пространств вам ведь наверняка известно?

Вот букет мне известен, а факторизация декартова произведения по букету - нет. Надо поискать. Вы в какой книге это нашли?

[maximk]

На счет факторизации двумерной сферы по нульмерной, почему именно таким образом это происходит? Почему точки отождествляются? И почему именно противоположные? А если бы факторизация шла по группе вычетов по модулю 3, и вообще $n$?

Хатчер, "Алгебраическая топология", стр. 21.

-- 08.05.2015, 19:43 --

Фоменко, Фукс, "Гомотопическая топология", стр. 25.

-- 08.05.2015, 19:47 --

Виро, Фукс, "Современные проблемы математики. Введение в теорию гомотопий. Гомологии и когомологии", стр. 15.

[Munin]

maximk в сообщении #1012541 писал(а):

На счет факторизации двумерной сферы по нульмерной, почему именно таким образом это происходит? Почему точки отождествляются? И почему именно противоположные? А если бы факторизация шла по группе вычетов по модулю 3, и вообще $n$?

Дело в том, что на сфере (геометрической, а не топологической) действует группа симметрий. (Вообще говоря, на $S^n$ - группа $\mathrm{O}(n).$) А в этой группе есть подгруппа $\mathbb{Z}_2.$ Поэтому можно взять точки, которые переводятся друг в друга вот этой подгруппой.

На самом деле, там, конечно же, несколько подгрупп $\mathbb{Z}_2,$ но берётся та, которая инверсия относительно центра сферы - это общепринятая условность.

Можно профакторизовать сферу и по любой другой подгруппе её группы симметрий. Это уже вы понимаете, как сделать. Но тут подгруппу надо указывать более точно. Например, у сферы размерности $n\geqslant 1$ есть подгруппа $\mathbb{Z}_k,$ отвечающая поворотам на углы $2\pi/k.$ Более того, у $n\geqslant 2$ таких подгрупп становится тоже несколько. Можно профакторизовать по ним, причём топологически получится опять та же самая $S^n.$

http://en.wikipedia.org/wiki/Smash_product я уже нашёл в википедии, читаю.

-- 08.05.2015 19:20:44 --

maximk в сообщении #1012526 писал(а):

А понятие букета пространств вам ведь наверняка известно? Букет пространств, грубо говоря, - склейка этих пространств по отмеченной точке (у каждого пространства берется по фиксированной отмеченной точке, после чего все эти отмеченные точки отождествляются). Тогда как можно себе понимать факторизацию декартова произведения по букету, что это за множество? Множество гомотопических классов эквивалентности петель?

Всё, оказывается, просто. Здесь факторизация в топологическом смысле.

Цитата:

One can think of X and Y as sitting inside X × Y as the subspaces X × {y0} and {x0} × Y. These subspaces intersect at a single point: (x0, y0), the basepoint of X × Y. So the union of these subspaces can be identified with the wedge sum (букет) X ∨ Y. The smash product is then the quotient
    $X \wedge Y = (X \times Y) / (X \vee Y).$

То есть, букет, выделенный в декартовом произведении, стягивается и склеивается в одну точку.

[maximk]

Ну то есть в итоге приведенное произведение двух пространств это множество чего?

[Munin]

Это вообще не множество, это пространство.

А как вы себе букет представляете?

[maximk]

Точно так, как изображено в "Виро, Фукс, "Современные проблемы математики. Введение в теорию гомотопий. Гомологии и когомологии", стр. 15" (в случае букета двух одномерных сфер)

Не понял, из чего следует, что букет, выделенный в декартовом произведении, стягивается и склеивается в одну точку при приведенном произведении, из чего именно это следует? Просто точно такое же описание читал в учебнике Хатчера, но так и не понял, чем является эта факторизация декартового произведения по букету (который, как ни странно, именно для случая описания, процитированного вами (аналогичного описанию Хатчера), я представляю просто как декартово произведение, ибо по описанию это есть объединение точек пересечения таких копий экземпляров двух пространств). В итоге у меня в голове теперь еще и путаница с букетом (или и здесь букет представляется таким же, какое представление о нем у меня было первоначально, просто я неправильно представляю в этом конкретном случае?).

[Munin]

maximk в сообщении #1012684 писал(а):

Не понял, из чего следует, что букет, выделенный в декартовом произведении, стягивается и склеивается в одну точку при приведенном произведении, из чего именно это следует?

Из слова "факторизация". Вы же сказали, что понимаете, что такое факторизация, как я написал в post1012515.html#p1012515 ? В последнем абзаце.

[maximk]

Читаю сейчас соответствующие параграфы о фактормножестве и фактортопологии в "Элементарной топологии" Виро, Харламова, Иванова, Нецветаева. Правильно я понимаю, что в данном случае букет составляет разбиение (т.е. покрытие попарно непересекающимися подмножествами) декартова произведения. Значит приведенное произведение есть множество, элементами которого являются подмножества декартова произведения, состовляющие разбиение букета.
Что ж. Так и не понял, как отсюда следует то, что вы написали.

[Munin]

maximk в сообщении #1013129 писал(а):

Правильно я понимаю, что в данном случае букет составляет разбиение (т.е. покрытие попарно непересекающимися подмножествами) декартова произведения.

Нет, неправильно. Декартово произведение не покрывается букетами, и более того, одним букетом. В декартовом произведении выделяется букет как подмножество.

Чёрт, ну вот вам тривиальный пример. Возьмём два отрезка $I=D^1.$ Выделенные точки - конец отрезка. Берём $I\times I=I^2$ - это квадрат. Выделенная точка первого отрезка, умноженная на второй отрезок, составляет в этом квадрате левую сторону. Выделенная точка второго отрезка, умноженная на первый, составляет в квадрате нижнюю сторону. Левая + нижняя стороны составляют в этом квадрате букет $I\vee I$ - ломаную линию. Теперь эту ломаную линию надо всю стянуть в точку - это и будет обсуждаемой факторизацией.

Вопрос. Что получится при $I\wedge S^1$? $S^1\wedge S^1$? $I\wedge 2I,$ где $2I$ - два отдельных отрезка, например, $2I=[0,1]\cup[2.3]$?

[maximk]

С чего стартанули, к тому и вернулись называется. На мой вопрос конкретно вы так и не ответили, я так и не понял, что такое факторизация (не знаю, не понял вообще или в этом конкретном случае). Если в топологическом смысле здесь фактиризация (как вы написали выше), то несоответствие разбиения букету противоречит топологическому определению факторизации из учебника "Элементарная топология".
Если ломаную стянуть в точку, то это будет просто точка, т.е. результатом фактиризации в любом случае будет точка, так что ли?
В вашем конкретном примере что является пространством $X$, а что $Y$?

[olenellus]

Прошу прощения, maximk, что влезаю. Я в теме не разбираюсь. Но сложилось впечатление, что имеется в виду следующее разбиение декартова произведения. Каждая точка, не принадлежащая букету, составляет отдельный класс. Каждая точка точка букета включается в один класс со всеми точками этого букета. Ну а требуемой конструкцией является факторизация по этому разбиению на классы. Обычно это и понимается под факторизацией по подмножеству в топологии. То есть, просто склеивание этого подмножества в одну точку. Именно так из тора, как прямого произведения окружностей, получается 2-сфера. Если делать по-вашему, то получатся двоеточие, где одна точка замкнута, а другая открыта.

[Xaositect]

maximk в сообщении #1013926 писал(а):

я так и не понял, что такое факторизация (не знаю, не понял вообще или в этом конкретном случае).

В общем случае у нас есть какое-то множество $M$ и какое-то отношение эквивалентности $\sim$ на $M$. Множество $M$ разбивается на классы эквивалентности $[x] = \{y: y\sim x\}$. Множество всех этих классов эквивалентности и будет фактор-множеством $M/\sim$. Есть каноническое отображение $M\to M/\sim$, отображающее $x\mapsto [x]$. (Можно и в категории определить, а не только для множеств, но пока давайте не будем).
В топологии мы хотим, чтобы отображение $M\to M/\sim$ было непрерывным. Для этого достаточно определить открытые множества на $M/\sim$ так, чтобы их прообразы были открытыми в $M$ --- это будет самая сильная топология, удовлетворяющая этому условию. В частности, мы можем взять и просто отождествить все точки какого-то подмножества $T\subset M$, (т.е. $x\sim y\Leftrightarrow (x \in T \& y\in T) \vee (x = y)$) - у нас получится новое пространство, в котором все точки, не принадлежащие $T$, сохранятся, а $T$ превратится в одну точку. Получается, что мы все $T$ "стягиваем в точку". Открытыми множествами будут открытые множества в исходном пространстве, которые либо не пересекались с $T$, либо полностью содержали его. Еще (особенно если $T$ замкнуто) это можно представить так, что мы сначала "вырезаем" $T$ из пространства, а потом получившуюся дыру склеиваем, добавляя вместо дыры одну точку. например, в $S^1\smash S^1 = S^1 \times S^1 / S^1\vee S^1$ у нас есть тор $S^1 \times S^1$, который мы разрезаем по двум окружностям $S^1\vee S^1$, получаем открытый диск, а потом склеиваем его границу одной точкой, получаем сферу.

(В алгебре)

В алгебре нам хочется, чтобы алгебраические свойства как-то хорошо переносились на классы эквивалентности. То есть отношение $\sim$ должно быть согласовано с операциями в алгебраической структуре на $M$, которую мы рассматриваем, например $a\sim b, c\sim d\Rightarrow a + c \sim b + d$ и т.п. В частности, если есть обратимая операция $\circ$ и нейтральный элемент $e$, то достаточно указать класс эквивалентности $[e]$, и отношение им определится полностью: $a\sim b\Rightarrow a \circ b^{-1} \in [e]$. Так получаются всякие фактор-группы (в общем случае множества классов смежности), фактор-кольца по идеалам и т.п.

Что Вам непонятно?