Задачи из книги В.Рубакова "Классические калибровочные поля"

[anatoliy_kiev]

Здравствуйте. Читаю книгу и решаю задачки Рубакова. Читаю последнее издание, которое разбили на два тома, бозонные и фермионные теории, но вроде бы пока для первого тома нумерация такая же как и у предыдущего издания.

Дополз до параграфа 2.5 второй главы, решил все задачи. Решаю 13-ю задачу 13 из этой главы.

Найти число физ. ст. свободы в электродинамике в $d$-мерном пространстве-времени. Отдельно рассмотреть случаи $d=2$, $d=3$, $d \geq 4$.

Беру $d=2$. Буду писать в обобщенном виде, чтобы потом перенести на общий случай. "Лагранжиан": $\mathcal{L}=-\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F_{\mu \nu}$, где $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_{\nu} - \partial_\nu A_{\mu}$. В нашем $d=2$ случае $A_2=A_3=0$ и единственные ненулевые компоненты тензора будут $F_{01} = \partial_0 A_{1} - \partial_1 A_{0} = - F_{10}$. Уравнения Эйлера--Лагранжа: $\square A_{\mu} - \partial_{\mu} (\partial_{\nu} A_{\nu}) = 0$. Отдельно нулевая и $i$-е компоненты:

$-\partial_i^2 A_0 + \partial_0 \partial_i A_i =0\hspace{1cm}(1)$,
$\square A_i - \partial_i (\partial_0 A_0 - \partial_i A_i)=0\hspace{1cm}(2)$.

Фиксируем калибровку. Воспользуемся кулоновской $\partial_i A_i = 0$. Тогда уравнение (1) перейдет в $\partial_i^2 A_0 =0$. Теперь из калибровочных преобразований $\partial_i A_i \to \partial_i A_i + \partial_i^2 \alpha$, т.е. кулоновская калибровка будет калибровочно инвариантной если $\partial_i^2 \alpha=0$. Поскольку $A_0 \to A_0 + \partial_0 \alpha$ и $\partial_i^2 A_0 =0$, то можно положить $A_0 = 0$. Таким образом, остается ОДНА степень свободы и второе уравнение переходит в $\square A_i = 0$.

Правильно?

[Munin]

anatoliy_kiev в сообщении #1014287 писал(а):

Фиксируем калибровку. Воспользуемся кулоновской $\partial_i A_i = 0$. ...Теперь из калибровочных преобразований $\partial_i A_i \to \partial_i A_i + \partial_i^2 \alpha$, т.е. кулоновская калибровка будет калибровочно инвариантной если $\partial_i^2 \alpha=0$.

Стоп-стоп-стоп. Если вы зафиксировали калибровку, то после этого калибровочные преобразования не делаются. (Кроме остаточных, но в кулоновской, кажется, их нет.) И словосочетание "калибровка калибровочно инвариантна" вообще бессмысленно.

[anatoliy_kiev]

Munin в сообщении #1014522 писал(а):

Стоп-стоп-стоп. Если вы зафиксировали калибровку, то после этого калибровочные преобразования не делаются. (Кроме остаточных, но в кулоновской, кажется, их нет.) И словосочетание "калибровка калибровочно инвариантна" вообще бессмысленно.

Я некорректно выразился (жаль нельзя поправить сообщение). Конечно, словосочетание "кулоновская калибровка будет калибровочно инвариантной", нужно читать "величина $\partial_i A_i$ будет калибровочно инвариантной".

-- Ср май 13, 2015 19:11:29 --

Вроде верно тогда. Интересно, есть ли этому вообще квантовый аналог.

[vanger]

Физических степеней свободы при $d=2$ нет. Действительно, число степеней свободы -- это размерность представления малой группы -- подгруппы изометрии простнаства-времени (группы Пуанкаре), оставляющей на месте точку массовой поверхности. У нас частица (поле) безмассовая -- массовая поверхность -- световой конус. А повертеть одномерный конус, не сдвигая точку на нём, нельзя. Это же видно, например, из общего решения уравнений Максвелла из первой главы Рубакова. При $d=2$ это чистая калибровка.

[anatoliy_kiev]

Да, действительно, из самого выбора кулоновской калибровки $\partial_i A_i =0$ и $A_0=A_2=A_3=0$ (см. выше) следует, что $\partial_1 A_1 = 0$, а значит и соответствующий поляризационный вектор $\varepsilon_1$ тоже зануляется.

Ну, тогда в случае $d=3$ получается одна степень свободы, а в случае $d=4$ обычных две (как и должно быть у безмассовой частицы со спином 1). Для более высоких размерностей там так же получается (размерность пространства-времени минус два) или что-то нехорошее происходит?

vanger, спасибо что привели групповую трактовку. Кстати, Вы знаете можно ли классификацию Вигнера распространить на пространство-время размерности больше или меньше 4-х?

[vanger]

anatoliy_kiev в сообщении #1014798 писал(а):

Для более высоких размерностей там так же получается (размерность пространства-времени минус два) или что-то нехорошее происходит?

Да, получается. Собственно, в групповой трактовке как жизнь устроена? Малая группа есть $O(d-1)$ для массивных частиц и $IO(d-2)$ для безмассовых. В последнем случае надо сделать ещё одну итерацию метода индуцированных представлений. Для $IO(d-2)$ есть два класса орбит: сферы (радиус -- аналог $m^2$ для группы Пуанкаре $IO(1,d-1)$) -- такие представления (т.н. представления непрерывного спина) мы не любим -- и начало координат -- а такие OK -- малая группа -- $O(d-2)$. Пространства описаны (после выбора соответствующих представлений, например, спина 1, обсуждаемого в теме), но проблема в том, что описание пока не очень удобное -- "индексов мало" -- $d-1$ для массивного поля и $d-2$ для безмассового. Так что волевым решением добавляем недостающие индексы и режем лишние степени свободы, появившияся в результате. Ковариантных уравнений тут особо не попридумываешь -- только "калибровка Лоренца". Её геометрический смысл (в импульсном представлении) -- $p_\mu A^\mu = 0, \; p^2 = m^2$ -- условие касательности векторного поля к массовой поверхности. Потому это уравнение называют условием трансверсальности (transversal -- поперечный). Это режет одну степень свободы, чего достаточно для массивных полей. Для безмассовых надо ещё одну вырезать. А ковариантных уравнений больше не написать. Последний шанс выкрутиться -- ввести отношение эквивалентности. Это можно сделать ковариантно. Это именно то, что в теории поля становится калибровочной инвариантностью.

anatoliy_kiev в сообщении #1014798 писал(а):

Кстати, Вы знаете можно ли классификацию Вигнера распространить на пространство-время размерности больше или меньше 4-х?

Да, конечно. Посмотрите вот, например: http://arxiv.org/abs/hep-th/0611263

[anatoliy_kiev]

vanger, да, круто, спасибо за ссылку.

Ну, что ж, буду дальше Рубакова читать.

[Munin]

vanger в сообщении #1014804 писал(а):

но проблема в том, что описание пока не очень удобное -- "индексов мало" -- $d-1$ для массивного поля и $d-2$ для безмассового. Так что волевым решением добавляем недостающие индексы

Если проблема только в этом, то есть ли возможность с этим смириться? Или по крайней мере, удерживать старые индексы, выписывая новые?

[vanger]

Munin в сообщении #1015024 писал(а):

Если проблема только в этом, то есть ли возможность с этим смириться?

По идее, да. По модулю квантовых аномалий. У нас есть описание пространства. А уж как именно его реализуем -- наше дело. Просто в описании выше мы сразу начали с "урезанного описания", а привыкли к "среднему". Я имею в виду следующее. Пусть у нас есть любая система со связями и/или калибровочными преобразованиями. Мы же по-разному её можем описывать. Хотим -- опустимся на поверхности связей, да и профакторизуем ещё всё, чтоб нефизических степеней свободы вообще не осталось. Хотим -- наоборот ещё лишнего добавим и будем считать когомологии БРСТ-оператора.

Плюс "не урезанного", например, в том, что оно "поковариантней".

Munin в сообщении #1015024 писал(а):

Или по крайней мере, удерживать старые индексы, выписывая новые?

В смысле?

[Munin]

vanger в сообщении #1015384 писал(а):

По модулю квантовых аномалий.

Вроде, до сих пор задача была классическая.

Ладно, где про такое "урезанное" описание можно почитать на простом уровне?

vanger в сообщении #1015384 писал(а):

В смысле?

В смысле, держать в уме (и в выкладках) оба описания и связь между ними. Когда нам нужна ковариантность - вот она, в "не урезанном" описании. Когда нам нужно обсудить динамику, физические степени свободы - и "урезанное" описание есть, чтобы на связи не отвлекаться.

[vanger]

Munin в сообщении #1015642 писал(а):

Ладно, где про такое "урезанное" описание можно почитать на простом уровне?

Я ничего лучше выше приведённой ссылки не знаю.

А "урезанное" описание -- это просто зафиксированная калибровка. Возможно, по модулю тонких функциональных вопросов, в связи с переходом от импульсного представления, в котором мы работаем изначально, т.к. операторы трансляции коммутируют, к координатному, когда трактуем волновые функции как поля (это первично-квантованное описание и есть причина упомянутой мной квантовости). Клейн-Гордон -- массовая поверхность, калибровка Лоренца -- трансверсальность.

Так что если вы интересуетесь, нет ли в малой окрестности этой беседы полезных техник для "классических тем" классической теории поля, то, как мне кажется, нет.

Про "урезанные"/"не урезанные" вообще -- про описание систем со связями и калибровочной инвариантностью, как на классическом, так и на квантовом уровнях -- Henneaux, Teitelboim "Quantization of Gauge Systems".

[Munin]

vanger в сообщении #1015814 писал(а):

А "урезанное" описание -- это просто зафиксированная калибровка.

А, я что-то перепутал. Меня интересует калибровочное описание, факторизованное по калибровкам.

[vanger]

Munin в сообщении #1015842 писал(а):

Меня интересует калибровочное описание, факторизованное по калибровкам.

Я не понял. Это как?

[Munin]

Ладно, проехали. И здесь нет того, что мне нужно...