Теория вероятностей

[Strannik]

Доброго времени суток.

Прошу вашей помощи с задачей по теории вероятностей.

Потребитель стоит возле неисправного автомата по продаже условно-съедобного корма и пытается купить "сникерс" стоимостью 30 рублей, бросая в автомат десятирублевые монеты. Автомат принимает монету с вероятностью 0.8 или возвращает ее потребителю. Потребитель не будет кидать монеты более 12 раз: если за 12 попыток автомат не примет в сумме 30 рублей, потребитель заберет деньги и уйдет. Составить ряд распределения случайной величины $X$ - количества попыток потребителя.

Что сразу приходит на ум:
$X$ принимает значения от $1$ до $12$ (включительно).

По формуле Бернулли (при $p=0.8$, $q=0.2$, $n=12$, $m=1..12$) можно найти вероятности того, сколько попадет монеток в автомат, если сделать 12 попыток. Но, вроде, это к задаче не подходит, ведь потребитель может получить сникерс, например, с 5 попыток (и дальше не бросать деньги).

Помогите, пожалуйста, разобраться в задаче.

[mihailm]

12 небольшое число. Какова вероятность, что $X=1$?

[Strannik]

mihailm
Ноль, наверное, так как с одной попытки (бросив одну монету) сникерс не купить.

[mihailm]

Не понял, $X$ это что?

[Strannik]

mihailm

$X$ - это количество попыток потребителя.

$p\{X=1\}$ - это вероятность того, что потребитель сделает одну попытку.

[grizzly]

Вот не люблю таких условий. Сделал потребитель 10 попыток и все 10 автомат ему вернул -- и что? Нормальный потребитель понимает, что делая ещё две попытки он просто дарит монеты автомату (тот с большой вероятностью воспользуется) -- и бросать не станет. Идеальный же потребитель этого не понимает и даже не пытается -- он будет бросать 12 раз. Ну почему сразу не предупредить в условии, о каком из двух типов потребителей идёт речь?

[Strannik]

grizzly

А в случае нормального потребителя задача решаема?

Хотя мне кажется, что тут идеальный потребитель.

[grizzly]

Может, нужно заметить, что ровно $k$ попыток означает, что из $k-1$ попытки будет в точности 2 попадания, плюс последняя попытка тоже обязательно попадание?

-- 13.05.2015, 23:10 --

Это если $k<12$, конечно.

[mihailm]

(Оффтоп)

Ну, grizzly, зачем же сразу так?

[grizzly]

(Оффтоп)

Я знаю, что есть 2 основных принципа шпионской деятельности. Первый -- никогда не выдавать всей информации. А вот с применением второго на практике у меня вечно проблемы

[Strannik]

grizzly
Спасибо!

Получается, что $X=3,4...12$

$p\{X=3\} = p_{3}(3)$

$p\{X=4\} = p_{3}(2) \cdot 0.8$

$p\{X=5\} = p_{4}(2) \cdot 0.8$

...

$p\{X=11\} = p_{10}(2) \cdot 0.8$

$p\{X=12\} = p_{12}(3)$

Не очень понял, но в сумме единица получается.

-- 14.05.2015, 00:05 --

В задаче еще есть вопрос, какова вероятность того, что потребитель купит сникерс. Может это важно.

[grizzly]

Strannik в сообщении #1014718 писал(а):

Спасибо!
...
Не очень понял, но в сумме единица получается.

В таком случае не за что. Но проверьте, что у Вас там точно 1 в сумме, а не пять с половиной девяток. А то ведь если потребитель идеальный, в последнем слагаемом это нужно учесть.

-- 14.05.2015, 00:16 --

Strannik в сообщении #1014735 писал(а):

В задаче еще есть вопрос, какова вероятность того, что потребитель купит сникерс.

В таких случаях удобнее сначала спросить себя, какая вероятность, что он его не купит. Это обычно проще. Впрочем, и для оригинального вопроса у Вас уже почти вся информация в табличке, нужно только подумать внимательно над последней клеткой (где 12 попыток).

[Strannik]

grizzly
Вру, не получается единицы в сумме.

-- 14.05.2015, 00:25 --

grizzly в сообщении #1014735 писал(а):

нужно только подумать внимательно над последней клеткой (где 12 попыток).

По идее, 12-й раз потребитель должен бросать монету только в том случае, если в предыдущих 11 было ровно 2 попадания. Но это противоречит тому, что вы писали выше (про $k<11$).

[grizzly]

Strannik в сообщении #1014741 писал(а):

Вру, не получается единицы в сумме.

Почему я не удивлён?
Давайте думать. (Кстати, выше я тоже уточнял, что для 12 нужно думать отдельно.)
Потребитель (мы решили, что он идеальный) будет бросит 12 раз в следующих случаях:
из 11 попыток 2 успешных + 12-я успешная
из 12 попыток 2 успешных
...
Дальше давайте сами -- там ещё пара-тройка случаев. Всё это легко считается.

[Strannik]

grizzly

Допустим, потребитель бросил монету 11 раз. При этом возможны 4 ситуации:

а) За эти 11 раз было 0 попаданий, тогда 12 раз не имеет смысла кидать.

б) За эти 11 раз было 1 попадание, тогда 12 раз не имеет смысла кидать.

в) За эти 11 раз было 2 попадания, тогда 12 раз имеет смысл кинуть.

г) За эти 11 раз было 3 попадания, тогда 12 раз кидать не нужно.