Норма Линейного оператора. Функ.Ан.

[Otta]

(Dan B-Yallay)

Все еще одинаковые. Но теперь хоть разнообразие форм )).

[Dimitrij]

Otta, сделал, получил,что $f(x)=-x(0)+\int_0^1x'(c)dt=-x(0)+x'(c)$, где $c\in(0,1)$. И тогда $|f(x)|\le|x(0)|+|x'(c)|\le2||x||_{C^1}$. Опять же,норма оператора,явно не 2. Я вот тут дальше не понимаю. Либо знаний теории не хватает,либо чего. Чего дальше то делать. Нужно найти такие функции,которые бы..хм.которые бы что??
Dan B-Yallay, простите, не понимаю,как это поможет(

[Otta]

Dimitrij
Нет, это очень грубо. Откуда выражение под интегралом? Уточните его.

[Slow]

Dimitrij в сообщении #1014710 писал(а):

$|f(x)|\le|x(0)|+|x'(c)|$

$||x||_{C^1[0,1]} = \max_{t\in{C^1}}|x(t)|+\max_{t\in{C^1}}|x'(t)|$

[Dimitrij]

$f(x)=-x(0)+\int_0^1(x(t)-x(0)dt)=-x(0)+\int_0^1x'(c)dt$
если делать такую подстановку $x(t)=x(0)+\int_0^tx'(s)ds=x(0)+(x(1)-x(0))t$, то вот что получаю:
$f(x)=-x(0)+(x(1)-x(0))\int_0^1tdt=-x(0)+(x(1)-x(0))\frac{1}{2}$, а отсюда уже получаю, что $|f(x)|\le2||x||_{C^1}$
снова двойку получил.(

[demolishka]

Dimitrij, Вы теорему Лагранжа не знаете. А в подстановке последнее равенство неверное.

[Otta]

Dimitrij в сообщении #1014720 писал(а):

Но я не уверен,что я спокойно могу менять местами дифференциалы.

Так - не можете.

Кстати, имеет смысл прислушаться к Slow. Но потом. Сперва исправьте оценку.

[Dan B-Yallay]

Dimitrij в сообщении #1014720 писал(а):

$x(t)=x(0)+\int_0^tx'(s)ds=x(0)+(x(1)-x(0))t$

С каких это пор все функции стали линейными?

demolishka в сообщении #1014721 писал(а):

Вы теорему Лагранжа не знаете.

[Dimitrij]

Теорема Лагранжа говорит мне вот это $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$. Разве нет?

[Otta]

Ну и применяйте. Как Вы применяете?

[Dan B-Yallay]

Dimitrij в сообщении #1014737 писал(а):

Теорема Лагранжа говорит мне вот это $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$. Разве нет?

Верно. А что скажет теорема Лагранжа насчет

$$\dfrac{x(t)-x(0)}{t-0} =?$$

[Dimitrij]

Я ее пишу при $a=1$ и $b=1$. Или в этом нет смысла?Ну да, точно, там же интеграл от 0 до t. Сейчас посмотрю,что получится.

-- 14.05.2015, 00:34 --

Otta , я сделал,как Вы говорили. Я затащил один $x(0)$ под знак интеграла, применил Теорему Лагранжа, получил $-x(0)+\int_0^1x'(c)tdt=-x(0)+x'(c)\frac{1}{2}$. Но модуль функционала все равно меньше, либо равен $\frac{3}{2}||x||_{C^1}$

[Otta]

Контрольный вопрос, в соответствии с теоремой Лагранжа, $x(t)-x(0)=?$

А, написали Вы это долгожданное $t$, вижу.

[Slow]

Dimitrij в сообщении #1014742 писал(а):

$-x(0)+x'(c)\frac{1}{2}$.

Распишите как вы отсюда норму получаете.

[Dimitrij]

Я норму не получаю, просто знаю неравенство такое $|f(x)|\le||f||||x||_{C^1}$. Пишу модуль функционала и получаю оценку на норму функционала сверху. Но это же не норма.Как саму норму найти, что дальше делать-то.