Норма Линейного оператора. Функ.Ан.

[Dimitrij]

Начал решать задачу по ФАНу. Примерно понимаю,что делать,но вот не могу найти норму оператора. В общем. Дано пространство $C^{1}[0,1]$ функций. В нем норма $||x||_{C^1[0,1]} = \max_{t\in{C^1}}|x(t)|+\max_{t\in{C^1}}|x'(t)|$. Дан функционал $f(x)=-2x(0)+\int_0^1{x(t)dt}$. Я доказал его непрерывность. Оценка сверху вот такая получилась $|f(x)|\le3||x||$. Снизу $||f||\ge1$. А вот сама норма будет не очень красивая. Помоги решить,пожалуйста.Буду очень благодарен.

[Otta]

А проблема-то в чем?

[Dimitrij]

Я без понятия как ее найти. Знаю вот такую формулу $||f||=\frac{|f(x)|}{||x||_{C^1}}$ . 3 не достигается,какими функциями все это сделаь я без понятия,какую последовательность функций сюда припихнуть. В общем,как ее найти,какие функции сюда запихнуть . и как понять,то ли я нашел.

[Otta]

Dimitrij в сообщении #1014615 писал(а):

$||f||=\frac{|f(x)|}{||x||_{C^1}}$

Формула несколько неудачная, Вам не кажется?

Зачем последовательность? здесь супремум достигается.

[Dimitrij]

Почему неудачная? Супремум? Я тройки не могу достигнуть. Я вас не понимаю. Я не нашел ни одной такой последовательности $x_n$,у которой норма единица ,а функционал равен 3м. И я ,просто, знаю, что ответ не простой, он куда более противный, препод так сказал.( ТАк вот я и не понимаю,что мне тут делать надо. КАк ее найти.

[Otta]

А, правильно делаете, что не понимаете. Это я опечатамшись. Щас чего-нить придумаем.

[Dimitrij]

Otta, Буду вам премного благодарен. А то мне даже стыдно, учусь на кафедре функционального анализа, а сам не умею его решать(

[Dan B-Yallay]

Dimitrij в сообщении #1014575 писал(а):

Оценка сверху вот такая получилась $|f(x)|\le3||x||$. Снизу $||f||\ge1$.

Оценку снизу как получили? Я беру $x(t)=t/2$ и получаю...

[Dimitrij]

Dan B-Yallay в сообщении #1014643 писал(а):

Dimitrij в сообщении #1014575 писал(а):

Оценка сверху вот такая получилась $|f(x)|\le3||x||$. Снизу $||f||\ge1$.

Оценку снизу как получили? Я беру $x(t)=t/2$ и получаю...

Оценку снизу я получил взяв $x(t)=-1$. Тождественно. Ну и вместо равенства ,ставьте неравенство вверх,для нормы оператора.

[Slow]

Тут я фигню сказал и удалил.

[Dan B-Yallay]

Последую примеру выше.

[Otta]

Dimitrij
Оцените строже норму сверху, с учетом информации о производной. Эта оценка слишком грубая.

-- 14.05.2015, 00:38 --

Dimitrij в сообщении #1014628 писал(а):

Почему неудачная?

Потому что в ней явно чего-то не хватает, пора уже исправить.

[Dimitrij]

Otta, ну ,понятно ,что там должен быть супремум. Я не понимаю как оценить. Может неравенство Гельдера туда припилить?Простите за сленг)

[Otta]

Затащите одно $x(0)$ под интеграл, с тем, чтобы получилась разность и воспользуйтесь теоремой Лагранжа.

[Dan B-Yallay]

Dimitrij в сообщении #1014694 писал(а):

Я не понимаю как оценить.

$$x(t)=x(0)+\int_0^t x'(s)ds$$

-- Ср май 13, 2015 14:07:10 --

(Otta)

Все еще разные?