Решение задач, которые могут быть полезны

[4arodej]

Я сейчас занимаюсь/занимался такими задачами. Предлагаю все обсудить вместе
Может быть кому-нить это понадобится, может кто-нить мне поможет.

1) Рассмотрим натуральное число N>1.
Если число простое -- вычитаем 2, иначе вычитаем все простые делители с учетом
кратности. Повторяем процедуру.
Процедура заканчивается, когда число уже меньше 2.

Например,
11 - простое: -2

9 - составное: -(3+3)

3 - простое: -2

1 - 1<2 - закончили.

Т.е. 11->9->3->1

Например, 8->2->0

Например, 25->15->7->5->3->1

Вопрос: 1. Может ли процедура сходится к отрицательному числу?

2. Числа 2,4,8,16 указанной процедурой сходятся к нулю. Существуют ли еще
такие числа?

3. Верно ли, что все числа, кроме 2,4,8,16, сходятся к 1?

________________________________________________________________________________

2) Найти все вещественные корни уравнения \sqrt[3]{x^2+2}=\sqrt{14-x} в явном
виде (не численно!).

4)Вычислить
\int\limits_{[0,1]^n}(x_1+\ldots+x_n)^2dx_1\ldots dx_n
________________________________________________________________________________
5) Решить систему
\left\{ \begin{array}{lll} |sin\frac{\pi(x+y)}4|&+&|1-sin\frac{\pi(x-y)}4|=0\\ \sqrt{4-|x|-|y+2|}&=&\sqrt{4-|x|-|y+2|} \end{array} \right.
________________________________________________________________________________
6)Является ли изоморфными кольца всех многочленов ст. не выше n и всех
многочленов ст. не выше n с нулевым коэффициентом при x^1. Если да, то
указать изоморфизм.
________________________________________________________________________________
7)Доказать, что множество всех преобразований Фурье из L(\mathbb{R}) плотно в
C_0(\mathbb{R}), но не совпадает с ним.

[AHOHbIMHO]

4arodej писал(а):

4)Вычислить
\int\limits_{[0,1]^n}(x_1+\ldots+x_n)^2dx_1\ldots dx_n

Пусть

$$f_n=\int\limits_{[0,1]^n}(x_1+\ldots+x_n)^2dx_1\ldots dx_n$$ $$g_n=\int\limits_{[0,1]^n}(x_1+\ldots+x_n)dx_1\ldots dx_n$$

Получаем реккурентные соотношения:

$$f_n=f_{n-1}+g_{n-1} + 1/3$$ $$g_n=g_{n-1}+1/2$$

При n=1:

$$f_1=1/3$$ $$g_1=1/2$$

Получаем:

$$g_n=n/2$$ $$f_n=f_{n-1}+(n-1)/2 + 1/3=f_{n-1}+n/2 - 1/6$$

Ищем $f_n$ в виде:

$$f_n=a n^2 + b n + c$$

получаем систему уравнений:

$$2 a=1/2$$ $$ b-a=-1/6$$ $$a+ b + c=1/3$$

и решаем:

$$a=1/4$$ $$ b=1/12$$ $$c=0$$

Ответ:

$$\int\limits_{[0,1]^n}(x_1+\ldots+x_n)^2dx_1\ldots dx_n=\frac {n}{4}\left(n+\frac {1}{3}\right)$$

[AHOHbIMHO]

4arodej писал(а):

2) Найти все вещественные корни уравнения \sqrt[3]{x^2+2}=\sqrt{14-x} в явном
виде (не численно!).

после возведения в 6-ую степень получаем:

$$\left (x-5\right )\left ({x}^{3}+6\,{x}^{2}-8\,x+548\right )$$

Один из корней - 5, второй (решая кубическое уравнение):

$$-1/3\,\sqrt [3]{7830+330\,\sqrt {561}}-20\,{\frac {1}{\sqrt [3]{7830+ 330\,\sqrt {561}}}}-2$$

Я решил это в Maple.

[4arodej]

AHOHbIMHO писал(а):

4arodej писал(а):

2) Найти все вещественные корни уравнения \sqrt[3]{x^2+2}=\sqrt{14-x} в явном
виде (не численно!).

после возведения в 6-ую степень получаем:

$$\left (x-5\right )\left ({x}^{3}+6\,{x}^{2}-8\,x+548\right )$$

Один из корней - 5, второй (решая кубическое уравнение):

$$-1/3\,\sqrt [3]{7830+330\,\sqrt {561}}-20\,{\frac {1}{\sqrt [3]{7830+ 330\,\sqrt {561}}}}-2$$

Я решил это в Maple.

А в ручную?

[Руст]

1)да.
2)нет
3)да
4) Легче считать так x(i)=(1+y(i))/2. Тогда вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла от (n+y1+...+yn)^2 в области |yi| < =1 c множителем 2^(-n-2). Из симметрии получаем что интегралы с перекрёстными и членами первого порядка равны нулю. Поэтому интеграл от нулевого члена дает n^2/4 и n интегралов от x^2/4 от 0 до 1, т.е I=n^2/4+n/12.
5)Из первого уравнения получаем x+y=4n,x-y=8m+2, n и m целые числа, из второго
|x|+|y+2| < =4. Отсюда из нечётности чисел x и y легко перебираются все возможные решения.
6) многочлены степени не выше n не образуют кольцо (произведение может быть степени выше).
7) зависит от топологии.

[AHOHbIMHO]

4arodej писал(а):

AHOHbIMHO писал(а):

4arodej писал(а):

2) Найти все вещественные корни уравнения \sqrt[3]{x^2+2}=\sqrt{14-x} в явном
виде (не численно!).

после возведения в 6-ую степень получаем:

$$\left (x-5\right )\left ({x}^{3}+6\,{x}^{2}-8\,x+548\right )$$

Один из корней - 5, второй (решая кубическое уравнение):

$$-1/3\,\sqrt [3]{7830+330\,\sqrt {561}}-20\,{\frac {1}{\sqrt [3]{7830+ 330\,\sqrt {561}}}}-2$$

Я решил это в Maple.

А в ручную?

Кто сейчас руками что либо делает?

Решение алгебраического уравнения 3 порядка в общем виде:


Решение алгебраического уравнения 4 порядка в общем виде:

[незваный гость]

Руст писал(а):

1)да.
2)нет
3)да
...

Вы не поясните? Я наблюдаю некоторое противоречие в Ваших ответах...

[Руст]

В чём противоречие.
1) очевидно, так как для любого натурального числа x=p1^n1*p2^n2*...pk^nk вычитывается число y(x)=n1*p1+...+nk*pk или k=1,n1=1 и соответственно y(x)=2. В любом случае y(x) не превосходит x, а следовательно f(x)=x-y(x) не меньше нуля при любом натуральном х.
2) и3) из вышенаписанного следует, что при х больше 16 y(x) меньше x/2. Поэтому, чтобы знать куда попадём достаточно исследовать х меньше 32.
7) Плотность имеется, если брать топологию сходимости на компактах в C0(R). Обычно вводят топологию через sup|f(x)|. Тогда образы преобразований Фурье не плотно даже в пространстве ограниченных непрерывных функций из-за не компактности прямой.

[незваный гость]

Руст писал(а):

В чём противоречие.

Цитата:

1. Может ли процедура сходится к отрицательному числу?
2. Числа 2,4,8,16 указанной процедурой сходятся к нулю. Существуют ли еще такие числа?
3. Верно ли, что все числа, кроме 2,4,8,16, сходятся к 1?

Цитата:

1)да.
2)нет
3)да

Из чистого занудства: 1) процедура может сходиться к отрицательному числу; 2) 2, 4, 8, 16 -- единственные исключения, для которых процедура сходится к 0; 3) для всех чисел, кроме 2..16 процедура сходится к 1.

2) & 3) => not 1)

[Руст]

Естественно ответ на первый вопрос нет, когда писал ответы на очевидные вещи, забыл формулировку вопроса.

[Alex_L]

Похоже, что после преобразования число n уменьшается не более чем на n/2+2, где n/2 - простое число. Тогда для 2 предположения нужно проверить числа от 17 до 39.

[4arodej]

AHOHbIMHO писал(а):

4arodej писал(а):

AHOHbIMHO писал(а):

4arodej писал(а):

2) Найти все вещественные корни уравнения \sqrt[3]{x^2+2}=\sqrt{14-x} в явном
виде (не численно!).

после возведения в 6-ую степень получаем:

$$\left (x-5\right )\left ({x}^{3}+6\,{x}^{2}-8\,x+548\right )$$

Один из корней - 5, второй (решая кубическое уравнение):

$$-1/3\,\sqrt [3]{7830+330\,\sqrt {561}}-20\,{\frac {1}{\sqrt [3]{7830+ 330\,\sqrt {561}}}}-2$$

Я решил это в Maple.

А в ручную?

Кто сейчас руками что либо делает?

Решение алгебраического уравнения 3 порядка в общем виде:


Решение алгебраического уравнения 4 порядка в общем виде:

Ну ладно, уговорили! Вот только Мапловское решение необходимо еще напильником приводить к человеческому - в том смысле, что очень часто возникает задача: доказать совпадение ответа и выводом Мапла

[4arodej]

Руст писал(а):

1)да.
2)нет
3)да
4) Легче считать так x(i)=(1+y(i))/2. Тогда вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла от (n+y1+...+yn)^2 в области |yi| < =1 c множителем 2^(-n-2). Из симметрии получаем что интегралы с перекрёстными и членами первого порядка равны нулю. Поэтому интеграл от нулевого члена дает n^2/4 и n интегралов от x^2/4 от 0 до 1, т.е I=n^2/4+n/12.
5)Из первого уравнения получаем x+y=4n,x-y=8m+2, n и m целые числа, из второго
|x|+|y+2| < =4. Отсюда из нечётности чисел x и y легко перебираются все возможные решения.
6) многочлены степени не выше n не образуют кольцо (произведение может быть степени выше).
7) зависит от топологии.

Очень благоданен за решение задачи 1) - долго не мог решить.
6) - переформулируем "всех " вместо ""не выше".
7) норма \sup\limits_{R}|f(x)|
5) -

[cepesh]

Неинформативный заголовок! Замечание автору темы. Измените заголовок на более информативный!

Цитата:

При посылке сообщения в форум, тема сообщения - прекрасная возможность привлечь внимание квалифицированных экспертов строкой длиной до 50 символов. Не тратьте их на лепет типа "Помогите мне, пожалуйста" (не говоря уже про темы "ПОМОГИТЕ!!!!!!!!"; сообщения с такими темами выбрасываются рефлекторно). Не пытайтесь поразить читающих глубиной своих страданий; лучше используйте отведенное место для максимально краткого описания проблемы.

[4arodej]

Решить уравнение \sqrt[6]{\sqrt[x]{9}}=3