О биекции отрезка на квадрат

[Evgenii2012]

demolishka в сообщении #1013941 писал(а):

Хорошо, а почему

Evgenii2012 в сообщении #1013828 писал(а):

$\beta=0, x_11x_29x_39\ldots .$

переходит в пару $(0.x_1x_2... , 0.2)$?

У нас отображение так построено, что это верно. Здесь следует также учесть, что $0,1999\ldots=0,2$ -- мой коллега выше уже написал об этом. Какие у Вас сомнения ?

Я могу и подробнее: $\beta=b_1b_2_b_2\ldots,$ тогда $f(\beta)=(0,b_1b_3b_5\ldots; 0,b_2b_4b_6\ldots)$. Здесь у нас $b_2=1, b_4=9=b_6=\ldots,$ так что $0,b_2b_4b_6\ldots=$
$0,1999\ldots=0,1+\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{9}{10^k}$$=0,2.$ Что-то не устраивает ?

[demolishka]

Evgenii2012
Несмотря на то, что в названии темы и стартовом сообщении фигурирует слово "биекция", на деле ни одной биекции Вами предъявлено не было. Даже после моих попыток указать на ошибки, Вы всё равно не видите их. В этой теме, как мне кажется, уже достаточно информации для решения Вашего вопроса, поэтому не вижу смысла мне больше отвечать здесь.

[Evgenii2012]

Я по-моему ничего не заявлял по поводу того, что мне известна биекция - разве я это сделал ?
Есть отображение, которое не претендует пока на биекцию, а я лишь просил указать, как его можно подправить (вдруг кто знает ?) . Ваши доводы совершенно неубедительны, жаль потраченного времени.

[slavav]

Виной всему попытка думать о числах как о строках из цифр. Хотя строки из цифр и числа соотносятся плохо, о чём и задача.

Пусть $x \in [0,1)$. Вычислите $a_i$ его десятичного разложения.

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги, я искренне благодарю Вас за проявленное внимание, однако, хотел бы заметить, что у меня к сожалению нет времени на разборку чьих-то туманных соображений. Я уже писал в это теме, что {\it действительным числом} называется бесконечная десятичная дробь такого-то вида... К чему здесь определние его десятичных знаков ? Если у Вас нет желания по-человечески объяснить мне Ваши соображения, то увольте меня, я найду взаимно-однозначное отображение и без Вашей помощи. Или подскажите, в чём тут дело, или не будем тратить моё и Ваше время.

[slavav]

Пробую ещё раз.

Числа из отрезка $[0, 1]$ можно отобразить некоторым естественным способом (к которому мы, возможно, ещё вернёмся) в множество бесконечных цифровых строк $S$. Это отображение я обозначаю как $M_1: [0, 1] \to S$.
Определим $S_9$ = M_1([0, 1]) - все те строки, которые могут получится из чисел. $S_9 \subset S$.
Оказывается, что $M_1$ - инъекция. То есть, его можно переопределить как биекцию на $S_9$: $M_1: [0, 1] \leftrightarrow S_9$.

У нас есть операция разрезания строк цифр: $M_2: S \leftrightarrow S \times S$. Это - биекция.

По паре строк из $S_9$ можно восстановить пару чисел из $[0, 1]$: $M_3: S_9 \times S_9 \leftrightarrow [0, 1] \times [0, 1]$.
$M_3$ определяется так: $M_3(s_1, s_2) = (M_1^{-1}(s_1), M_1^{-1}(s_2))$.

И так, у нас три биекции, их надо скомпоновать в одну. Хочется написать $M_1 \circ M_2 \circ M_3$, но нельзя - области определения одних отображений не совпадают с образами других. Надо что-то придумать:
$M_1: [0, 1] \leftrightarrow S_9$
?
$M_2: S \leftrightarrow S \times S$
?
$M_3: S_9 \times S_9 \leftrightarrow [0, 1] \times [0, 1]$

Что делать?

[Evgenii2012]

Попробовать рассмотреть сужение отображения $M_2$ на $S_9,$ тогда можно записать и композицию

[slavav]

Не получится: $M_2(S_9) \not\subset S_9 \times S_9$. Вы сами приводили пример, когда после разрезания получились девятки в конце. Есть ещё идеи?

[grizzly]

Подписываюсь под вопросом со всеми претензиями ТС. Вопрос интересен именно в такой постановке. Красивого решения пока не вижу, просто попытаюсь высказать свои идеи, а также озвучить сомнения ТС, как я их себе представляю.

Для начала одно замечание по постановке задачи (не критичное, скорее методологическое).

Evgenii2012 в сообщении #1013828 писал(а):

Указанное соответствие, вообще говоря, не взаимно однозначно: например, точке $A=(0,x_1x_2x_3\ldots; 0,2)$ квадрата $[0,1]\times [0, 1]$ соовтествуют две точки отрезка $[0, 1]$ -- это точка $\alpha=0,x_12x_20x_3\ldots$ и точка $\beta=0, x_11x_29x_39\ldots .$

Вот это место мне не нравится. Если мы прямо перед этим объявили запрет девяткам в периоде, то логичнее было бы считать, что точка $\beta=0, x_11x_29x_39\ldots .$ просто останется дыркой, не имеющей соответствия.

Но я предлагаю не запрещать девятки, а попытаться тупо подлатать дырки (точнее, накладки) "плохих" случаев. Тогда при отображении отрезка в квадрат всё получается хорошо, за исключением счётного числа плохих точек -- каждая из них отображается в несколько точек квадрата. Каждая -- в конечное число, значит всего будет счётное число точек и с одной, и с другой стороны. Но это не проблема -- между двумя счётными множествами мы умеем строить биекции и мы построим новую. Вероятно, не сложно будет задать её в каком-то явном виде.

В обратную сторону имеем подобную счётную проблему для каждой первой координаты и, аналогично, для каждой второй координаты. Каждую эту счётную проблему мы можем залатать. Можем даже попытаться оформить все эти латки единой "замкнутой" формулой, чтобы не было особых претензий по поводу несчётности латок. Если этого не сделать, то вместо указания конкретной биекции, мы превратим решение в доказательство типа "существование", что для наших целей не есть красиво.
(Придётся ещё проследить, что эти латки не пересекаются между собой или с латками первой части и, возможно, что-то подкорректировать.)

Немного погуглил. У меня создалось впечатление, что это какой-то методологический обман, и он с завидным постоянством повторяется даже в учебниках. В лучшем случае недоделанное решение даётся в качестве первого ознакомления, а потом идёт строгое доказательство по теореме Кантора -- Бернштейна. В худшем -- объявляется строгим решением вообще без анализа девяток.

Не теряю надежды, что я тоже упускаю из виду какой-то тривиальный ответ на вопросы ТС и буду с нетерпением ждать, что кто-то меня вразумит :)

[slavav]

Тривиального ответа на вопросы TC я не знаю, и подозреваю, что его нет. Нет красивого решения. Есть некрасивое, но корректное. Оно состоит в том чтобы подлатать композицию $M_1 \circ M_2 \circ M_3$. Для её подлатывания надо изобрести биекцию $M_{12}: S_9 \leftrightarrow S$. Из неё надо сделать биекцию $M_{23} : S \times S \leftrightarrow S_9 \times S_9$. Тогда получим: $M_1 \circ M_{12} \circ M_2 \circ M_{23} \circ M_3$.

Почему я бы действовал в этом направлении? Потому что, если вы любым способом подлатаете $M_2$ (операцию разрезания строк), то по этому способу я построю $M_{12}$.

Это моя программа. Я попробовал её обосновать. Если вы согласны с ней изобретите $M_{12}$ и постройте $M_{23}$. Это две независимые задачи, кстати.

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги, большое спасибо ! Я подумаю как над Вашими вопросами и сформулированными новыми задачами, так и над данной задачей.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Предлагаю уже наконец выкинуть десятичную систему и использовать двоичную. Магических превращений не образуется, но хотя бы возможной путаницы будет чуть-чуть меньше.

[slavav]

arseniiv в сообщении #1014256 писал(а):

(Оффтоп)

Предлагаю уже наконец выкинуть десятичную систему и использовать двоичную. Магических превращений не образуется, но хотя бы возможной путаницы будет чуть-чуть меньше.

Кажется, что при любой попытке красиво отобразить числа в строки вы получите счётное число дырок во множестве строк. Одна из подзадач состоит в том, чтобы залепить эти дырки. Полагаю, что это нельзя сделать красиво. Меняя основание системы счисления мы не меняем саму задачу. Трудности остаются теми же.

[Cash]

Назовем $0, 1 \ldots, 9$ знаками.
Цифрой назовем натуральное число, которое
а) не оканчивается на знак $9$
б) откидыванием знака справа нельзя получить другую цифру.
(тут у меня в определении рекурсия случилась, но вы меня поняли...)

А дальше первый пост, только вместо цифр - цифры

Получится биекция полуинтервала $[0, 1)$ на полуоткрытый квадрат $[0, 1)\times [0,1)$

[slavav]

Cash в сообщении #1014292 писал(а):

Назовем $0, 1 \ldots, 9$ знаками.
Цифрой назовем натуральное число, которое
...
б) откидыванием знака справа нельзя получить другую цифру.
(тут у меня в определении рекурсия случилась, но вы меня поняли...)

Нет, не понял ни фразы, ни как по числу построить строку из цифр.