Задача на геометрическую вероятность

[Koncopd]

У нас есть треугольник $\triangle ABC$ с площадью, равной 1. Выбираем на нем случайную точку $M$. Как найти математическое ожидание площади треугольника $\triangle ABM$?

[iifat]

Попробуйте найти функцию распределения упомянутой площади.

[Koncopd]

iifat в сообщении #1013848 писал(а):

Попробуйте найти функцию распределения упомянутой площади.

Ну вот мне не совсем понятно, как ее здесь строить. Это будет функция равномерного распределения?

[ИСН]

Какие положения точки $M$ будут приводить к одному и тому же значению площади?

[Koncopd]

ИСН в сообщении #1013865 писал(а):

Какие положения точки $M$ будут приводить к одному и тому же значению площади?

Симметричные относительно высоты на сторону AB?

[ИСН]

Не только.

[Koncopd]

Честно говоря, подсказки не особо помогают. Единственная мысль - посчитать мат. ожидания координат точки, так как совместная плотность вроде бы известна и равна 1, а после подставить получившиеся координаты в формулу площади нужного треугольника.

[Brukvalub]

Основание треугольника - это отрезок, то есть часть прямой. Каково г.м. т., расположенных на расстоянии, не большем некоторого фиксированного положительного числа от этой прямой?

[Koncopd]

Brukvalub в сообщении #1014014 писал(а):

Основание треугольника - это отрезок, то есть часть прямой. Каково г.м. т., расположенных на расстоянии, не большем некоторого фиксированного положительного числа от этой прямой?

Прямоугольник?

[Brukvalub]

Koncopd в сообщении #1014072 писал(а):

Прямоугольник?

ЧОрный квадрат? Вы думать не желаете...

[Koncopd]

Brukvalub в сообщении #1014102 писал(а):

Koncopd в сообщении #1014072 писал(а):

Прямоугольник?

ЧОрный квадрат? Вы думать не желаете...

Дык туповат, видимо, просто не догоняю.

Что касается задачи, то решил ее тупо в лоб. Положил треугольник точкой $A$ в начало координат, вычислил математические ожидания координат случайной точки, они оказались равны половине стороны и трети высоты, что дало нам разделение треугольника $\triangle ABC$ на три равных треугольника. Мат. ожидание площади равно 1/3.

Никакой более нормальный способ так в голову и не пришел.

[Lia]

Koncopd
Оформляйте формулы (это в т.ч. и все обозначения), иначе тема будет вынуждена пойти в Карантин.

[ИСН]

Koncopd в сообщении #1014192 писал(а):

Никакой более нормальный способ так в голову и не пришел.

Ваш способ нормальный, но - не для этой задачи. Правильный результат он даёт случайно. Функция от матожидания далеко не всегда равна матожиданию от функции.
Не говоря уж о том, что треугольник не обязан быть правильным.

[Koncopd]

ИСН в сообщении #1014199 писал(а):

Koncopd в сообщении #1014192 писал(а):

Никакой более нормальный способ так в голову и не пришел.

Ваш способ нормальный, но - не для этой задачи. Правильный результат он даёт случайно. Функция от матожидания далеко не всегда равна матожиданию от функции.
Не говоря уж о том, что треугольник не обязан быть правильным.

Да он правильный по условию, это я совсем забыл написать.

[gris]

Кстати, в этой задаче вполне можно применить стандартный способ нахождения матожидания путём интегрирования по этому самому треугольнику. Плотность распределения везде равна единице. Функция, то есть площадь, линейна, и график её представляет кусок плоскости, поднимающийся от нуля на основании до единицы в противоположной вершине. Нужный интеграл равен объёму тела, которое представляет собой пирамиду. А значит и интегрировать не нужно, а посчитать этот объём по школьной формуле.