Параллельная равносоставленность параллелепипеда

[Pretty Kitty]

Подскажите как доказать, что произвольный параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному. В указании написано, что может помочь то, что любую матрицу $A$ из $SL(\mathbb{R}, n)$ для любого базисного набора векторов $v_1, ..., v_n$ можно так домножить на произведение элементарных матриц $B$, что $AB$ переведет этот базис в свою четную перестановку. Я доказал это, но не понимаю, как это может помочь.

[TOTAL]

Pretty Kitty в сообщении #1013765 писал(а):

Подскажите как доказать, что произвольный параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному.

Что такое "параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному"?

[ИСН]

Это значит, что здесь отрубаешь, сюда прикладываешь, и выходит кирпич.

[Pretty Kitty]

TOTAL в сообщении #1013798 писал(а):

Pretty Kitty в сообщении #1013765 писал(а):

Подскажите как доказать, что произвольный параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному.

Что такое "параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному"?

Параллелепипед - многогранник, который получается пересечением n областей вида $a \le L_i(x) \le b$, где $L_i$ - линейные функции. Координатный параллелепипед - декартово произведение отрезков. Параллельная равносоставленность означает, что можно разрезать на многогранники и так их параллельно перенести, чтобы получилось разрезание друого. Разрезать на многогранники - представить в качестве объединения многогранников, которые пересекаются по вырожденным. Многогранник - элемент алгебры порожденной симплексами, вырожденный многогранник - элемент алгебры порожденной вырожденными симплексами.

Еще я умею доказывать это для параллелепипедов, которые получаются из координатного, применением к нему одной элементарной матрицы

[TOTAL]

1) разрезаем параллелепипед на лапшинки вдоль его одного ребра
2) каждую лапшинку разрезаем пополам поперек координатной оси $x_1$
3) перестыковываем каждую лапшинку разрезом наружу
4) собираем их снова в параллелепипед в прежнем порядке

Получили паралелепипед, у которого есть грань с $x_1=const$
И так далее до готовности.

[Pretty Kitty]

TOTAL в сообщении #1013818 писал(а):

1) разрезаем параллелепипед на лапшинки вдоль его одного ребра
2) каждую лапшинку разрезаем пополам поперек координатной оси $x_1$
3) перестыковываем каждую лапшинку разрезом наружу
4) собираем их снова в параллелепипед в прежнем порядке

Получили паралелепипед, у которого есть грань с $x_1=const$
И так далее до готовности.

Так, а на лапшу зачем резать, может просто разрезать сразу весь параллелепипед пополам и одну часть перенести?

[ИСН]

Я не особо вникал, но вроде он может быть настолько косым, что сразу пополам не разрезать.

[Pretty Kitty]

ИСН в сообщении #1013873 писал(а):

Я не особо вникал, но вроде он может быть настолько косым, что сразу пополам не разрезать.

А в чем проблема? Просто берем его проекцию на ось, это будет отрезок, находим его середину, и проводим через нее разрезающую гиперплоскость.

А я понял, эти штуки там не состыкуются, тогда можно сделать просто больше разрезов

[ИСН]

Pretty Kitty в сообщении #1013877 писал(а):

тогда можно сделать просто больше разрезов

Именно. Вот это и будет лапша.

[svv]

Для меня самый понятный подход такой.
1. Замечаем, что если грань сдвинуть вдоль её ребра, получится параллельно равносоставленный параллелепипед.

Этому соответствует замена ребра $a_j$ на $a_j+\lambda a_k$.
Это очевидно для $|\lambda|\leqslant 1$ (на рисунке к почтивертикальному образующему вектору прибавили половину почтигоризонтального). Повторяя, можно получить любое $\lambda$.
2. Значит, грань можно сдвигать параллельно ей самой как угодно, с сохранением равносоставленности. Этому соответствует замена ребра $a_j$ на $a_j+\sum\limits_{k\neq j} \lambda_k a_k$.
3. Теперь легко последовательно добиться того, чтобы каждое ребро было координатным.