Тройной интеграл

[krodd2]

Здравствуйте!

Нужно вычислить тройной интеграл $\int\int\limits_{G}^{}\int\sqrt{x^2+y^2+z^2}dxdydz$, где $G$ - область, определяемая условием $x^2+y^2+z^2 \le 2x$.

Область $G$ - шар с центром $(1,0,0)$ радиуса $1$. Удобно перейти к сферическим координатам.

$\begin{equation*} \begin{cases} x=\rho \cdot \cos \phi \cdot \sin \theta \\ y=\rho \cdot \sin \phi \cdot \sin \theta \\ z=\rho \cdot \cos \theta \end{cases} \end{equation*}$

Правильно ли я нахожу пределы интегрирования в сферических координатах?

$0 \le \phi \le \pi$

$0 \le \theta \le \pi$

Подставим $x, y, z$ в уравнение сферы и выразим $ \rho$.
$(\rho \cdot \cos \phi \cdot \sin \theta-1)^2 + \rho^2 \sin^2 \phi \sin^2 \theta+\rho^2\cos^2 \theta \le 1$.
Отсюда получаем $0\le \rho \le 2 \cdot \cos \phi \cdot \sin \theta $.

Значит, тройной интеграл сводится к

$$\int\limits_{0}^{\pi} d\phi\int\limits_{0}^{\pi}d\theta\int\limits_{0}^{2 \cdot \cos \phi \cdot \sin \theta} \rho \cdot \rho^2 \sin \theta \cdot d\rho$$

Верно?

[Brukvalub]

Про якобиан замены координат вам еще не рассказывали?

[krodd2]

Да, уже исправил, забыл написать. Правильно ли я определил, от чего до чего меняются $\phi, \theta, \rho$?

Brukvalub в сообщении #1013547 писал(а):

Про якобиан замены координат вам еще не рассказывали?

[iifat]

Не помню уже точно, кто такие эти $\theta$ b $\phi$, но явно ж шар сбоку. Откуда такие странные пределы по углам?

[krodd2]

По каким углам?

iifat в сообщении #1013550 писал(а):

Не помню уже точно, кто такие эти $\theta$ b $\phi$, но явно ж шар сбоку. Откуда такие странные пределы по углам?

[Brukvalub]

Да, по $\varphi $ пределы расставлены ошибочно.

[krodd2]

Почему по $\phi$ ошибочно? Сфера же лежит по одну сторону от плоскости $Ozy$, и проходит через начало координат

Brukvalub в сообщении #1013554 писал(а):

Да, по $\varphi $ пределы расставлены ошибочно.

[svv]

Я бы ввёл сферическую систему координат так, чтобы угол $\theta$ отсчитывался от оси $Ox$ (но с началом в $(0,0,0)$). Проще пределы интегрирования будут.

[Brukvalub]

Воля ваша, раз у вас все правильно, не смею оспаривать.

[krodd2]

Я не утверждаю, что у меня правильно. Хочу понять, в чем ошибка.

Brukvalub в сообщении #1013565 писал(а):

Воля ваша, раз у вас все правильно, не смею оспаривать.

[Brukvalub]

Рассмотрите плоский случай: круг единичного радиуса с центром (1 , 0) в канонической полярной системе координат и запишите пределы интегрирования по углу для такого случая.

[krodd2]

$-\frac{\pi}{2} \le \phi \le \frac{\pi}{2}$ ?

Brukvalub в сообщении #1013570 писал(а):

Рассмотрите плоский случай: круг единичного радиуса с центром (1 , 0) в канонической полярной системе координат и запишите пределы интегрирования по углу для такого случая.

[Brukvalub]

Да.

[krodd2]

Разобрался, спасибо!