интеграл функции комплексной переменной

[Q_Q]

посчитать интеграл: $\int \limits_{0}^{\infty} {(\frac {x} {\sh x})}^2 dx$
по какому контуру его нужно считать?

[Бодигрим]

Пока что у вас записан несобственный действительный интеграл. Так что вопрос о пути (не контуре!) интегрирования тривиален - вдоль действительной оси.

Стандартный метод нахождения таких интегралов заключается в переходе на комплексную плоскость и использовании теории вычетов. Для начала скажите, где подынтегральная функция аналитична? Где имеет особые точки и какого рода?

[Q_Q]

ну особые точки 0 и $i\pi$

Добавлено спустя 16 минут 15 секунд:

при переходе на комплексную плоскость решил считать по прямоугольному контуру,но при выражении интеграла верхней стороны через нижнюю, они сокращаются

[Бодигрим]

Q_Q писал(а):

ну особые точки 0 и $i\pi$

Странно. Вообще-то все точки вида $k\pi i$ будут особыми. Отсюда $z=\infty$ - неизолированная особая точка. Скажите, пожалуйста, $z=k\pi i$ - это будут устранимые особые точки, полюса (какого порядка?) или существенно особые точки? Отдельно рассмотрите $k=0$.

Цитата:

при переходе на комплексную плоскость решил считать по прямоугольному контуру,но при выражении интеграла верхней стороны через нижнюю, они сокращаются

C этого места поподробнее, пожалуйста.

[Q_Q]

полюса 1 порядка

Добавлено спустя 5 минут 18 секунд:

насчет контура,отдельно доказал,что интегралы по боковым сторонам при стремленни R к бесконечности,стремятся к 0,затем за I обозначил исходный интеграл, выразил верхнюю сторону через него,посчитав как $-\int\limits_{\gamma}^{} f(z+i\pi)$

[Gordmit]

Q_Q, Вы бы сначала пояснили, по какому именно прямоугольному контуру Вы считаете интеграл. А то непонятно.

[Q_Q]

(-R,$i\pi$) (R,$i\pi$)


(-R,0) (R,0)

[Бодигрим]

Цитата:

полюса 1 порядка

Неправда. Я боюсь, нет смысла идти дальше, пока вы не разобрались с ОТ. Наводящие вопросы:
1. Чему равен

$$\lim_{z\to0} z/\sh z$$

?
2. Нули какого порядка имеет $\sh^2z$ в точках $k\pi i$?

Добавлено спустя 3 минуты 41 секунду:

На основании чего вы перешли от интеграла по незамкнутому пути к интегралу по некоторому контуру? Почему

$$\int_0^{\infty} {x\over \sh x}\,dx= \int_\gamma {z\over \sh z}\,dz$$

, где $\gamma$ - описанный вами прямоугольник? Между прочим, ваш контур проходит через особые точки подынтегральной функции - вас это совсем не смущает?