Вычисление сложного интеграла

[Saitoa]

Добрый вечер! Есть интеграл

$$\int_{0}^{\frac{x}{\sqrt{2}}} e^{\left(-\frac{(x^2-t^2)}{2}\right)}\left(\frac{1}{t}\left(\frac{\arctg t}{t}\right)'\right)' dt$$

Функция $\left(\frac{1}{t}\left(\frac{\arctg t}{t}\right)'\right)'$ на всем отрезке непрерывна и достигает некоторого максимального значения (пусть это будет число $A$), как доказать, что неравенство ниже справедливо?

$$\left|\int_{0}^{\frac{x}{\sqrt{2}}} e^{\left(-\frac{(x^2-t^2)}{2}\right)}\left(\frac{1}{t}\left(\frac{\arctg t}{t}\right)'\right)' dt\right| \leqslant A xe^{-\frac{x^2}{4}} $$

[Saitoa]

Ну или хотя бы намёк какой-нибудь подкиньте что вообще нам даёт то, что функция $\left(\frac {1}{t}\left(\frac{\arctg{t}}{t}\right)'\right)'$ непрерывна на всём отрезке интегрирования и имеет максимальное значение?

[Ms-dos4]

Идея такова. Считаем интеграл $\[\int\limits_0^{\frac{x}{{\sqrt 2 }}} {A{e^{ - \frac{{{x^2} - {t^2}}}{2}}}dt} = - iA\sqrt {\frac{\pi }{2}} {e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}{\mathop{\rm erf}\nolimits} [\frac{{ix}}{2}]\]$. Преобразуем так $\[ - iA\sqrt {\frac{\pi }{2}} {e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}{\mathop{\rm erf}\nolimits} [\frac{{ix}}{2}] = A{e^{ - \frac{{{x^2}}}{4}}} \cdot ( - i\sqrt {\frac{\pi }{2}} {e^{ - \frac{{{x^2}}}{4}}}{\mathop{\rm erf}\nolimits} [\frac{{ix}}{2}])\]$. Функция в скобках всегда меньше, чем $\[x\]$ (это легко доказать в окрестности нуля через ряд, на бесконечности функция вообще ограничена, и её максимум тоже ниже соотв. значения $\[x\]$

[Dan B-Yallay]

Saitoa в сообщении #1011658 писал(а):

намёк

$$\Big| \int\limits_I f(t) g(t) dt \Big| \leqslant \max_I |g(t)|\Big | \int\limits_I f(t)dt\Big |$$

[Otta]

Простейшая оценка максимумом под интегралом.

[Saitoa]

Спасибо за ответы. И отдельное спасибо Ms-dos4 за подробный ответ. Но вот ещё один вопрос появился Функция ошибок выглядит как $\erf{x} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{x}{\exp^{-t^2}}dt$ Но если изменить пределы интеграла, допустим, поставив интеграл от $\frac{x}{\sqrt{2}}$ до ${x}$ , данный метод уже никак не подойдёт?

[Otta]

Вам не нужна никакая функция ошибок, это чрезмерная информация и изыски. Не используется ничего, кроме грубой оценки функции максимумом под знаком интеграла.

[Saitoa]

Otta в сообщении #1013270 писал(а):

Вам не нужна никакая функция ошибок, это чрезмерная информация и изыски. Не используется ничего, кроме грубой оценки функции максимумом под знаком интеграла.

Но как-то надо взять этот интеграл. Он же не берётся в элементарных функциях.

[Otta]

Зачем? От Вас не требуется значение. Только оценка сверху.