Предкомпактность в Lp(E) (Критерий Рисса)

[IvMig]

Пусть $1 \leqslant p < \infty , E \subset R^d$- измеримое по Лебегу множество и $A \subset L_p (E)$. Следует ли из существования мажоранты для множества $A$ : $\exists y \in L_p (E) \forall x \in A \overset{.}{\forall} t \in E |x(t)|\leqslant|y(t)|,$ что множество $A$ предкомпактно в $L_p (E)$?
(где $\overset{.}{\forall}$- почти всюду, за исключением конечного числа точек) Вообще говоря, равностепенная непрерывность не выполняется при таких условиях. Проблема возникает с самим примером. Я брал множество $E=(0,1], p=1, d=1$ и хочу выбрать функцию, которая не будет равностепенно непрерывной в $L_p (E)$, т.е. $\exists \epsilon >0, \forall \delta(\epsilon)>0 \exists y: |y|<\delta, \exists f \in A: \int_{0}^{1} |f(x) - f(x+y)|dx \geqslant \epsilon$. Брал $sin(\frac 1 x)$, но там все плохо. Как быть?

[Oleg Zubelevich]

IvMig в сообщении #1013145 писал(а):

Следует ли из существования мажоранты для множества $A$ : $\exists y \in L_p (E) \forall x \in A \overset{.}{\forall} t \in E |x(t)|\leqslant|y(t)|,$ что множество $A$ предкомпактно в $L_p (E)$?

я бы рассуждал так. Множество $A$ ограничено значит слабо компактно в $L^p$. Берем произвольную последовательность, извлекаем слабо сходящуюся подпоследовательность, из слабой сходимости, вроде бы должна следовать сходимость по мере, а значит, должна выделяться еще подпоследовательномть которая сходится почти всюду. А значит по теореме Лебега о мажорированной сходимости эта подпоследовательность сходится в $L^p$. Вообщем, ответ на ваш вопрос, видимо, "да", но нужно мое рассуждение надо проверить по учебникам, там может где-то нужно еще чтоб $\mu(E)<\infty$

[sup]

IvMig в сообщении #1013145 писал(а):

Я брал множество $E=(0,1], p=1, d=1$ и хочу выбрать функцию, которая не будет равностепенно непрерывной в $L_p (E)$, т.е. $\exists \varepsilon >0, \forall \delta(\varepsilon)>0 \exists y: |y|<\delta, \exists f \in A: \int_{0}^{1} |f(x) - f(x+y)|dx \geqslant \varepsilon$. Брал $\sin(\frac 1 x)$, но там все плохо. Как быть?

У Вас путаница. Равностепенная непрерывность бывает не для функции, а для множества функций.
Давайте рассмотрим последовательность $\sin (nx)$ на отрезке $(0,\pi)$. Что про нее можно сказать?

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

я был не прав

[IvMig]

sup в сообщении #1013254 писал(а):

IvMig в сообщении #1013145 писал(а):

Я брал множество $E=(0,1], p=1, d=1$ и хочу выбрать функцию, которая не будет равностепенно непрерывной в $L_p (E)$, т.е. $\exists \varepsilon >0, \forall \delta(\varepsilon)>0 \exists y: |y|<\delta, \exists f \in A: \int_{0}^{1} |f(x) - f(x+y)|dx \geqslant \varepsilon$. Брал $\sin(\frac 1 x)$, но там все плохо. Как быть?

У Вас путаница. Равностепенная непрерывность бывает не для функции, а для множества функций.
Давайте рассмотрим последовательность $\sin (nx)$ на отрезке $(0,\pi)$. Что про нее можно сказать?

В плане сходимости все печально, при $n \to \infty$ непонятно, что будет. Но тогда вопрос: я понял про множество функций, но для отсутствия равностепенной непрерывности должна же существовать 1 такая функция, для которой выполняется последнее неравенство. В любом случае надо рассматривать последовательности функций?

[Oleg Zubelevich]

в примере sup последовательность слабо сходится к нулю в $L^2[0,2\pi]$ . Если бы она содержала сходящуюся в $L^2[0,2\pi]$ подапследовательность, то та тоже бы сходилась к нулю, но такого быть не может: посчитайте норму членов этой последовательности