[Wolfram Mathematica] Интеграл с полиномами Эрмита

[Kitozavr]

Пытаюсь посчитать с помощью Mathematica интеграл

$$ \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{\omega}{\hbar} x^2} H_n \left(\sqrt{\frac{\omega}{\hbar}} x \right) e^{i g x} H_m \left(\sqrt{\frac{\omega}{\hbar}} x \right) dx. $$

Команда

$$ \text{FullSimplify}\left[\int_{-\infty }^{\infty } \exp (i g x) \exp \left(-\frac{x^2 \omega }{h}\right) H_m\left(x \sqrt{\frac{\omega }{h}}\right) H_n\left(x \sqrt{\frac{\omega }{h}}\right) \, dx,\{\{\omega ,g,x\}\in \mathbb{R},\{m,n\}\in \mathbb{Z}\}\right] $$

не работает, точнее, выполняется настолько долго, что приходится отменять вычисление.
Однако, если вместо $m$ и $n$ подставить целые числа программа выдаёт ответ. Поэтому, мне кажется, что проблема в том, что, $m$ и $n$ принимаются целыми только после расчёта интеграла и программа пытается найти полином Эрмита с произвольным номером.
Можно ли как-то взять этот интеграл для любых целых $m,n$?

[Vince Diesel]

Лучше приводить не только формулы, но и код в теге Code.

[Kitozavr]

Тогда получается совершенно не наглядно, но вот:

FullSimplify[\!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(-\[Infinity]\), \
\(\[Infinity]\)]\(Exp[
\*FractionBox[\(-\[Omega]\), \(h\)]\ 
\*FractionBox[
SuperscriptBox[\(x\), \(2\)], \(2\)]]\ HermiteH[m, 
\*SqrtBox[
FractionBox[\(\[Omega]\), \(h\)]]\ x]\ Exp[I\ g\ x]\ HermiteH[n, 
\*SqrtBox[
FractionBox[\(\[Omega]\), \(h\)]]\ x]\ \[DifferentialD]x\)\), \
{Element[{\[Omega], g, x, h}, Reals], Element[{m, n}, Integers]}]

Это если скопировать через Copy As -> Input Text.

[Vince Diesel]

Ну, подсчет нескольких первых дает какие-то многочлены, умноженные на всякие мелочи. Так что вопрос получается, есть ли замкнутая форма для этого семейства многочленов, зависящего от двух параметров. Вообще говоря, не обязана.

[Kitozavr]

Vince Diesel в сообщении #1012459 писал(а):

Так что вопрос получается, есть ли замкнутая форма для этого семейства многочленов, зависящего от двух параметров.

Я не знаю что это значит, но что если нет?
Из физических соображений, интеграл должен вычисляться для всех $m$ и $n$, так как это матричный элемент гамильтониана в базисе волновых функций осциллятора.

[Vince Diesel]

Из того, что он вычисляется, не следует, что у него есть замкнутая форма в виде чего-то хорошего. Тут вопрос, конечно, что считать хорошим. Можно, конечно, попробовать раскладывать эти многочлены по полиномам Эрмита. Вдруг коэффициенты будут как-то хорошо выражаться.

[Kitozavr]

Vince Diesel в сообщении #1012489 писал(а):

Можно, конечно, попробовать раскладывать эти многочлены по полиномам Эрмита.

А полиномы от какого аргумента? Переменная $x$ ведь исчезла после интегрирования.

[Vince Diesel]

От $g$ и прочих параметров.

[Kitozavr]

Я попробую. А это можно сделать в Mathematica или придётся руками?

(Оффтоп)

Меня пару дней не будет дома, поэтому на сообщения отвечать в этот период не буду, тему не забросил.

[Mysterious Light]

Vince Diesel в сообщении #1012489 писал(а):

Вдруг коэффициенты будут как-то хорошо выражаться.

надеемся.

Если сделать замену $k = \sqrt{\frac{\omega}{\hbar}}$, для удобства положить $k>0$, из полученного (точнее, ещё не полученного) интеграла вынести множители $\frac{k}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{g^2}{2k^2}}$ и сделать ещё одну замену $p=\frac{g}{k}$, то можно построить таблицу для конкретных $m$ и $n$, состоящую только из полиномов по $p$ со степенью, не превышающей $n+m$.
Затем можно попробовать поугадывать общий вид формулы для произвольных $m$ и $n$, к тому же там похожие множители появляются.

$Assumptions = Element[{g, x, k}, Reals] && Element[{m, n}, Integers] && k > 0;

Table[FullSimplify[
   k/Sqrt[2 \[Pi]] Exp[g^2/(2 k^2)] Integrate[
      Exp[-k^2 x^2/2] HermiteH[m, k x] Exp[I g x] HermiteH[n, k x],
      {x, -\[Infinity], \[Infinity]}] /. g -> p k],
  {m, 0, 5}, {n, 0, 5}] // MatrixForm

[sergei1961]

Я бы попробовал так. Разложил комплексную экспоненту в ряд, почленно проинтегрировал-интеграл есть в Интегралы и Ряды. Дальше надо думать-или функцию Гаусса от специальных параметров попробовать упростить, или сам ряд свернуть к известному при помощи той же книги.

Ага. Явная формула через обобщённые полиномы Лагерра есть в Прудников, Брычков, Маричев, Интегралы и ряды, т.2, с. 450, ф. 22. Нужно только аккуратно перейти от оси к полуоси, рассмотрев чётность-нечётность многочленов и синусов-косинусов, но указанная формула работает во всех случаях, мне кажется.
А для чего старались, какая физическая задача решается?

[Vince Diesel]

Kitozavr в сообщении #1012547 писал(а):

Я попробую. А это можно сделать в Mathematica или придётся руками?

Можно. Убрать все лишнее, как предложено Mysterious Light (или положить все параметры равными единице). С помощью команды CoefficientList получить список коэффициентов многочлена b и списки (матрицу) A коэффициентов многочленов Эрмита. Дополнить все списки нулями, чтобы все были одинаковой длины. Командой LinearSolve[A,b] найти коэффициенты разложения данного полинома по требуемым. Написать процедуру, которая бы все это делала для данного многочлена. Применить к многочленам, скажем, первой строки матрицы, т.е. $m=1$, $n=0,\ldots 10$. Потом для $m=2$,... Закономерности там есть и простые. Многочлен с индексом $m$ выражается, похоже, через $m+1$ многочлен Эрмита с индексами, идущими через 1, типа $H_{m+n}$, $H_{m+n-2}$, $H_{m+n-4}\ldots$ Точно так же для следующих $m$. Затем попытаться угадать закономерность общую.

[sergei1961]

Есть явная формула для этого интеграла из справочника. Или надо обязательно с помощью МАТЕМАТИКА?

[Kitozavr]

sergei1961 в сообщении #1013152 писал(а):

Есть явная формула для этого интеграла из справочника.

Явная формула отлично подходит, большое спасибо. Всем остальным тоже спасибо за советы.

sergei1961 в сообщении #1013128 писал(а):

А для чего старались, какая физическая задача решается?

Если коротко, то это задача о джозефсоновском контакте в присутствии электромагнитной волны. Как в этой статье.

[sergei1961]

Берите в соавторы (шутка). Был рад помочь.