Дифференцируемость и производная вдоль направления угла.

[integral2009]

$$f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2},&\text{если $(x,y)\ne (0;0)$;}\\ 0&\text{если $(x,y) = (0;0)$;}\\ \end{cases}$$

Установите -- является ли функция дифференцируемой в точке $(0;0)$ или нет, а в остальных точках? Найдите производную по направлению угла $\theta$ в точке $(0;0)$

Я так понимаю, что в первом пункте нужно просто взять посчитать частные производные по определению (через предел), тогда будет все ясно. Верно?
А про направление угла. Я так понял, что имеются ввиду полярные координаты. Тогда можно считать по формуле:

$D_{\theta}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h\cos\theta,h\sin\theta)-f(0;0)}{h}=0$

Верно? Может ли производная по направлению угла зависеть от направления угла?

То есть, если бы мы рассматривали функцию:

$$f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^2}{x^2+y^2},&\text{если $(x,y)\ne (0;0)$;}\\ 0&\text{если $(x,y) = (0;0)$;}\\ \end{cases}$$

$D_{\theta}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h\cos\theta,h\sin\theta)-f(0;0)}{h}=\cos^2\theta$

[svv]

integral2009 в сообщении #1012747 писал(а):

$D_{\theta}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h\cos\theta,h\sin\theta)-f(0;0)}{h}=0$

Во-первых, как получился такой результат.
Во-вторых, боюсь, если бы по условию дали $f(0,0)=5$, Вы бы в числителе так $5$ и подставили вместо $f(0,0)$. Надо ж хоть проверить, стала ли функция непрерывной от такого доопределения.

integral2009 в сообщении #1012747 писал(а):

Может ли производная по направлению угла зависеть от направления угла?

Пусть ответом на этот вопрос будет красноречивая картинка в оффтопике:

(Оффтоп)

Представьте себя где-нибудь посреди этого склона. Сделайте шаг вперед, шаг назад, шаг вбок. Почувствовали разницу?

[integral2009]

svv в сообщении #1012754 писал(а):

integral2009 в сообщении #1012747 писал(а):

$D_{\theta}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h\cos\theta,h\sin\theta)-f(0;0)}{h}=0$

Во-первых, как получился такой результат.
Во-вторых, боюсь, если бы по условию дали $f(0,0)=5$, Вы бы в числителе так $5$ и подставили вместо $f(0,0)$. Надо ж хоть проверить, стала ли функция непрерывной от такого доопределения.

integral2009 в сообщении #1012747 писал(а):

Может ли производная по направлению угла зависеть от направления угла?

Пусть ответом на этот вопрос будет красноречивая картинка в оффтопике:

(Оффтоп)

Представьте себя где-нибудь посреди этого склона. Сделайте шаг вперед, шаг назад, шаг вбок. Почувствовали разницу?

$$D_{\theta}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h\cos\theta,h\sin\theta)-f(0;0)}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{h^3\cos^3\theta+h^3\cos^3\theta}{h^2}=\displaystyle\lim_{h\to 0}h(\cos^3\theta+\cos^3\theta)=0$$

Непрерывность я предварительно проверил. Функция является непрерывной в точке, потому как $\displaystyle\lim_{(x,y)\to (0;0)}f(x,y)=f(0;0)=0$

Получается, что производная вдоль направления угла может зависеть от угла.

[svv]

integral2009 в сообщении #1012765 писал(а):

$$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{h^3\cos^3\theta+h^3\cos^3\theta}{h^2}$$

Вот в этом месте почему в знаменателе вторая степень?

Картинка понравилась?

[integral2009]

основное триг тождество,

[svv]

Так а в предыдущем выражении было же ещё одно $h$ в знаменателе.

[integral2009]

Точно, спасибо, значит не существует

[svv]

Простите, не понял, чего не существует? Зависимость производной по направлению от направления — это нормально даже для самых гладких функций, возьмите хотя бы $z(x, y)=x$ (на тему которой и была картинка со склоном).

[bot]

integral2009 в сообщении #1012747 писал(а):

Я так понимаю, что в первом пункте нужно просто взять посчитать частные производные

На то и пример, чтобы развеять заблуждение, что дифференцируемость - это существование частных производных.

[Lia]

Ветвь обсуждения, инициированная Tosha, отделена в «Матрица Якоби, дифференцируемость.»