задачи с белорусской олимпиады...

[fadetoblack]

1) Совокупность трёхзначных чисел, составленных только из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, назовём хорошей, если она удовлетворяет условию: какие бы две неравные цифры из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 ни выбрать, найдётся такое число совокупности, которое содержит эти две выбранные цифры.
Для каждой хорошей совокупности найдём сумму чисел, её составляющих. Чему равна наименьшая из всех таких сумм?

2) Для некоторых восьми натуральных чисел, больших 1 и не превосходящих 250, вычисляются произведения каждых семи из них. Известно, что среди этих восьми произведений только 2 совпадают.
Можно ли восстановить исходные восемь чисел, если известны семь различных из указанных произведений?

3) Вася задумал трёхзначное число и сообщил Пете сумму и произведение его цифр, а также то, что если переставить в задуманном им числе местами первые две слева цифры, то полученное число будет делиться на задуманное. Затем он дополнительно сообщил, что средняя цифра задуманного числа не равна 6
Докажите, что полученные сведения позволяют Пете однозначно восстановить задуманное Васей число.

4) Таблица N x M (N<=M) заполняется по обычным правилам игры "Сапёр" : в некоторые клетки помещается по мине, а в остальных записывается количество мин, соседних с ними(по стороне или вершине) клетках. Затем вычисляется сумма записанных в таблице чисел.
Какое максимальное значение может принимать эта сумма?

5) Равносторонний треугольник со стороной N линиями, параллельными его сторонам, разбит на N^2 одинаковых равносторонних треугольников (со стороной 1).
Какое наименьшее число этих треугольников нужно отметить, чтобы любой из неотмеченных треугольников имел с отмеченными хотя бы одну общую сторону?

[TOTAL]

fadetoblack писал(а):

5) Равносторонний треугольник со стороной N линиями, параллельными его сторонам, разбит на N^2 одинаковых равносторонних треугольников (со стороной 1).
Какое наименьшее число этих треугольников нужно отметить, чтобы любой из неотмеченных треугольников имел с отмеченными хотя бы одну общую сторону?

У меня вот что получается (там целые части): $\left[ \frac{n}{2} \right]^2 + \left( n - 2 \left[ \frac{n}{2} \right] \right) \left( n - \left[ \frac{n+1}{3} \right] \right) $

[ИСН]

2) "среди этих восьми произведений только 2 совпадают" - слабо запутанный способ сказать "совпадают только 2 числа". А "известны семь различных из указанных произведений" - это что же выходит, восьмое равно какому-то из этих? Ну так и перемножить их все, а потом посмотреть, на какое одно надо домножить ещё раз, чтобы получилось число вида $n^7$.

[TOTAL]

ИСН писал(а):

2) "среди этих восьми произведений только 2 совпадают" - слабо запутанный способ сказать "совпадают только 2 числа". А "известны семь различных из указанных произведений" - это что же выходит, восьмое равно какому-то из этих? Ну так и перемножить их все, а потом посмотреть, на какое одно надо домножить ещё раз, чтобы получилось число вида $n^7$.

Что делать, если таких нашлось несколько?

[ИСН]

Тогда и ответов несколько. Но с числами до 250 такого вроде случиться не может. Ну точно: отношение двух произведений - это отношение двух чисел. Если оно является чьей-то седьмой степенью, то это какие же здоровые должны быть числа...
Upd. 1 и 128, например. А, нет, сказано: "больших 1". А тогда 2 и 256? А фигу: "не превосходящих 250". Всё.

[TOTAL]

ИСН писал(а):

А, нет, сказано: "больших 1". А тогда 2 и 256? А фигу: "не превосходящих 250". Всё.

Да, я несколько по-другому рассуждал, но именно это условие оставило и у меня единственный ответ.

[fadetoblack]

ок, с этой задачей понятно .. прикольно они сюда 250 привязали... могли бы 256 написать .. а то запутали!!! (это я так) )

просто я бы если честно очень хотел увидеть решение первой задачи .. понятное решение

Добавлено спустя 10 минут 14 секунд:

вот .. нашёл кстати ещё интересную задачу на мой взгляд .. тока сложная.. не могу решить(

Двое играют в такую игру. Первый задумывает некоторое число. Второй называет K натуральных чисел из промежутка [1;N]. Первый прибавляет к задуманному одно из них , говорит полученное второму и т.д. Сможет ли второй игрок определить задуманное число? За какое минимальное число ходов он сможет это сделать?? Ответ должен зависеть от чисел K, N.

Эта задача вообще вроде исследовательского характера.. так что тут сначала наверна надо частные случаи хотя бы рассмотерть.. например(из условия) рассмотрите сначала K=6 N=10; K=6 N=21

[TOTAL]

fadetoblack писал(а):

просто я бы если честно очень хотел увидеть решение первой задачи .. понятное решение

125+136+145+246+234+356=1242
Понятно, что меньше нельзя.

[Neqyau]

TOTAL писал(а):

Понятно, что меньше нельзя.

Можно:
$ 123 + 134 + 136 + 145 + 156 + 235 + 246 = 1175 $

[Профессор Снэйп]

Neqyau писал(а):

TOTAL писал(а):

Понятно, что меньше нельзя.

Можно:
$ 123 + 134 + 136 + 145 + 156 + 235 + 246 = 1175 $

Но тогда и ещё меньше можно!

$112 + 134 + 136 + 145 + 156 + 235 + 246 = 1164$

Добавлено спустя 5 минут 45 секунд:

Я, пытаясь анализировать ситуацию, сумел доказать следующее.

Совокупность с наименьшей суммой

1) Содержит не более одного числа, имеющего одинаковые цифры.
2) Если и содержит такое число, то оно равно $110 + c$ для $c \in \{ 2,3,4,5,6 \}$.
3) Не содержит чисел, начинающихся с $4$, $5$ или $6$.
4) Содержит не более двух чиел, начинающихся с $3$.
5) Содержит не менее пяти чисел.
6) Для каждого числа $100a + 10b + c$ из совокупности справедливо $a \leqslant b < c$, где $a,b,c \in \{ 1, \ldots, 6 \}$.

Этого, похоже, уже достаточно для того, чтобы алгоритм, осуществляющий полный перебор (с учётом этих условий) работал приемлемое время. Но вот дорешать задачу аналитически пока не могу.