2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вычислить предел
Сообщение08.05.2015, 12:34 
Аватара пользователя
Здравствуйте. Правильно ли я вычислил предел? Если нет, подскажите где я ошибся?
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}[(a+\frac{1}{n})^2 + (a+\frac{2}{n})^2+ ... + (a+\frac{n-1}{n})^2] =\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}[a^2 + \frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}+a^2+\frac{4a}{n^2}+\frac{4}{n^2}+ ... + a^2+\frac{2a(n-1)}{n}+(\frac{n-1}{n})^2] = \lim_{n\to\infty} \frac{a^2 (n-1)}{n} + \frac{...}{n} = a^2$

 
 
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение08.05.2015, 12:43 
Аватара пользователя
Про интегральные суммы слышали когда-нибудь, например?

 
 
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение08.05.2015, 12:48 
По-моему, у вас монотоннно возрастающая последовательность, каждый член которой больше $a^2$ Тогда предел просто не может быть $a^2$

 
 
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение08.05.2015, 12:50 
netang в сообщении #1012409 писал(а):
где я ошибся?

Здесь:

netang в сообщении #1012409 писал(а):
$= \lim_{n\to\infty} \frac{a^2 (n-1)}{n} + \frac{...}{n}$

Во-первых, непонятно, что здесь написано. Во-вторых, это ничем не обосновано. В-третьих, в любом случае неверно.

 
 
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение08.05.2015, 13:02 
Аватара пользователя
netang как будет выглядеть интегральная сумма для $f(x)=(1+x)^2$ на $[0;1]$, например?

 
 
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение08.05.2015, 18:18 
Аватара пользователя
Интегральные суммы - это сложно, почти непостижимо. А если аккуратно и подробно рассмотреть одно Ваше спагаемое?

netang в сообщении #1012409 писал(а):
$\frac{...}{n}$

Не слишком ли лихо Вы это в нуль отправили?

 
 
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение09.05.2015, 13:12 
Аватара пользователя
Я знал ответ чужого решения, ответ был $a^2+a+\frac{1}{3}$, но у меня возникали сомнения при виде $\frac{1}{3}$.
bot в сообщении #1012537 писал(а):
Не слишком ли лихо Вы это в нуль отправили?
Спасибо за подсказку! Рассмотрев получше эту часть выражения и, применив формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии и формулу суммы квадратов первых n натуральных чисел, я получил:
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}[(a+\frac{1}{n})^2 + (a+\frac{2}{n})^2+ ... + (a+\frac{n-1}{n})^2] =\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}[a^2 + \frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}+a^2+\frac{4a}{n}+\frac{4}{n^2}+ ... + a^2+\frac{2a(n-1)}{n}+(\frac{n-1}{n})^2] = \lim_{n\to\infty} \frac{a^2 (n-1)}{n} + \frac{(2+4+ ... + 2(n-1))a}{n^2} + \frac{1+4+...+(n-1)^2}{n^3} =  \lim_{n\to\infty} \frac{a^2 (n-1)}{n} + \frac{(n^2-n)a}{n^2} + \frac{2n^3-n^2-2n^2-n}{6n^3} = a^2+a+\frac{1}{3}$

Всем отписавшимся спасибо за подсказки :wink:

 
 
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение09.05.2015, 17:18 
Аватара пользователя
Ну а теперь может быть попробуете через интегральную сумму? Какую функцию надо взять и на каком интервале, чтобы эта сумма стала для неё интегральной?

 
 
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение09.05.2015, 23:00 

(Оффтоп)

bot в сообщении #1012787 писал(а):
Какую функцию надо взять и на каком интервале, чтобы эта сумма стала для неё интегральной?

Она, кстати, не станет для неё интегральной, строго говоря. Навеяно сомнительной (пусть и формально верной; для $a>0$, во всяком случае) репликой

ET в сообщении #1012415 писал(а):
По-моему, у вас монотоннно возрастающая последовательность,

 
 
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение10.05.2015, 04:49 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1012956 писал(а):
Она, кстати, не станет для неё интегральной

Не понял.


-- Вс май 10, 2015 08:49:48 --

(Оффтоп)

А, ну да, с точностью до одного слагаемого

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group