Парадокс Ахиллеса и черепахи без физики

[enko]

Обычно это парадокс объясняют тем, что невозможно делить пространство и время бесконечно. Но если отбрость физику и рассмотреть математическую модель этой задачи (задать две вещественные функции описывающие движение), то все равно, по крайней мере для меня, парадокс остается. Я понимаю, что это как-то связанно с бесконечными последовательностями и пределами, но до конца не могу разрешить вопрос..

Очень прошу объяснить или дать ссылки..

[незваный гость]

А в чём состоит математический парадокс с Вашей точки зрения?

[enko]

незваный гость писал(а):

:evil:
А в чём состоит математический парадокс с Вашей точки зрения?

Если забыть физику и допустить возможность делить время бесконечно, то парадокс остается

[незваный гость]

незваный гость писал(а):

А в чём состоит математический парадокс с Вашей точки зрения?

Что остаётся-то?

Не ссылайтесь на невесть что, а скажите, в чём состоит парадокс, как Вы понимаете.

[enko]

пусть есть две функции задающие движение ахиллеса и черепахи
$a(t)=t$
$c(t)=1+t/k$
$d=c-a$

рассмотрим значение функции $d(t)$ в точках $t=1; 1+1/k; ... ;1+1/k+...+1/k^n$ оно $>0$ при любом $n$
с другой стороны очевидно существует $t=k/(k-1)$ т.ч. $d(t)=0$

Кажется начинаю понимать, что никакого математического парадокса нет

[Henrylee]

enko писал(а):

пусть есть две функции задающие движение ахиллеса и черепахи
$a(t)=t$
$c(t)=1+t/k$
$d=c-a$

рассмотрим значение функции $d(t)$ в точках $t=1; 1+1/k; ... ;1+1/k+...+1/k^n$ оно $>0$ при любом $n$
с другой стороны очевидно существует $t=k/(k-1)$ т.ч. $d(t)=0$

Кажется начинаю понимать, что никакого математического парадокса нет

Странные какие-торассуждения Зачем Вам $\frac{1}{k^n}$? Это же скорость черепахи, как я понимаю. Зачем ее менять. Параметр $n$ вводить излишне.
Суть отсутствия математического парадокса в том, что в задаче время забега заведомо ограничено. Просто сформулирован афоризм так, что оно кажется бесконечным.
PS А вот физический парадокс тут в чем? В рамках какой физ. теории пространство и время нельзя бесконечно делить?

[Профессор Снэйп]

Да и физического парадокса тут нет никакого.

Парадокс был в умах древних греков. Они просто боялись бесконечности. У них Вселенная была конечной и гармонично устроенной, всё относилось ко всему в каких-то замечательных пропорциях. А тут поделили отрезок (времени, расстояния --- неважно чего) на бесконечное число частей и сами испугались того, что сделали.

Для современного, западноевропейского мировоззрения парадокса здесь нет ни в каком смысле: ни в физическом, ни в математическом.

Я слышал, что когда пифагорейцы открыли несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, они тут же покрыли эту страшную тайну завесой секретности. Через много лет нашёлся ренегат, нарушивший клятву и предавший тайну широкой огласке. Пифагорейцы его прокляли, провели какие-то там обряды над куколкой с его именем и чувак, нарушивший клятву, вскорости утонул, купаясь в море.

А открытие иррациональных величин ныне считается первым кризисом оснований математики. Второй кризис связан с использованием бесконечно малых величин в интегрально-дифференциальном исчислении. Третий --- с парадоксами теории множеств, он, по сути, до сих пор не преодолён.

[Henrylee]

О! Вот ответ, которого я и ждал. Все так. Но скажите, ради Бога, почему Бергсон (или Б. Рассел? кто-то из них) все же усматривает тут парадокс. Да и современная философия (точнее, история философии) соглашается, что это парадокс. Когда я спрашиваю об этом у философов, они впадают в транс и начинают что-то долго и глубокомысленно говорить. Разобраться в том, что они говорят, владея терминами, можно, но суть "парадоксальности" всегда от меня ускользала.
PS Не могу определить степень "оффтопности" сообщения, как гворится, что вышло, то вышло

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:

Вопрочем, в название темы укладывается

[enko]

Henrylee писал(а):

PS А вот физический парадокс тут в чем? В рамках какой физ. теории пространство и время нельзя бесконечно делить?

Может я совсем глупый, но иначе по этой логике действительно не догонит

Цитата:

пусть начальное расстояние есть a и пусть Ахиллес всегда бежит в k раз быстрее черепахи. Когда Ахиллес пробежит расстояние a, черепаха отползёт на a/k, когда Ахиллес пройдёт это расстояние, черепаха отползёт на a/k2? и т. д., т. е всякий раз между состязающимися будет оставаться отличное от нуля расстояние.

Поясните в чем противоречие?

По-моему, единственный выход ограничить отрезки времени и считать, что все физические процессы дискретны..

[Henrylee]

enko писал(а):

Цитата:

пусть начальное расстояние есть a и пусть Ахиллес всегда бежит в k раз быстрее черепахи. Когда Ахиллес пробежит расстояние a, черепаха отползёт на a/k, когда Ахиллес пройдёт это расстояние, черепаха отползёт на a/k2? и т. д., т. е всякий раз между состязающимися будет оставаться отличное от нуля расстояние.

Поясните в чем противоречие?

По-моему, единственный выход ограничить отрезки времени и считать, что все физические процессы дискретны..

ну зачем же. Сложите все отрезки пути, которые пробежал Ахиллес. Получите конечную сумму бесконечной геометрической прогрессии. Поскольку скорости бегущих постоянны, отрезки времени порпорциональны. Вот и получается, что бегуны бегут заведомо конечное время (состоящее из бесконечного количества отрезочков). Не надо быть супервычислителем, чтобы это время посчитать - оно есть как раз время сближения Ахилла с черепахой.

[Профессор Снэйп]

Henrylee писал(а):

Да и современная философия (точнее, история философии) соглашается, что это парадокс...

Ну, история философии и философия --- разные вещи. У меня был друг, к.ф.н, который обижался, когда его называли философом. Он говорил: "Я историк философии, а не философ, не надо приписывать мне все те глупости, которые я изучаю!"

А где там Б. Рассел парадокс усматривал? Я не знал его мнение.

Насчёт Бергсона: он всё-таки не логик...

Добавлено спустя 3 минуты 58 секунд:

Henrylee писал(а):

ну зачем же. Сложите все отрезки пути, которые пробежал Ахиллес. Получите конечную сумму бесконечной геометрической прогрессии.

А что такое сумма геометрической прогрессии и вообще сумма ряда? Предел последовательности частичных сумм? То есть такое число $s \in \mathbb{R}$, что для любого $\varepsilon > 0$ существует... Какое вообще отношение имеет вся эта байда к обсуждаемому топику? Боюсь, что косвенное.

[Henrylee]

Профессор Снэйп писал(а):

Ну, история философии и философия --- разные вещи. У меня был друг, к.ф.н, который обижался, когда его называли философом. Он говорил: "Я историк философии, а не философ, не надо приписывать мне все те глупости, которые я изучаю!"

А где там Б. Рассел парадокс усматривал? Я не знал его мнение.

Насчёт Бергсона: он всё-таки не логик...

Так я бы понял, если бы в рамках истории философии говорили, что в античности парадоксы Зенона считались парадоксами, а теперь.. В том и дело, что современные философы эту точку зрения разделяют.

Да вот не помню точно Рассел или Бергсон... Кто-то из них рассматривает все 4 апории как раз в философском ключе. И делает далеко идущие выводы.

Добавлено спустя 2 минуты 30 секунд:

Профессор Снэйп писал(а):

А что такое сумма геометрической прогрессии и вообще сумма ряда? Предел последовательности частичных сумм? То есть такое число $s$, что для любого $\varepsilon > 0$ существует... Какое вообще отношение имеет вся эта байда к обсуждаемому топику. Боюсь, что косвенное.

А вот и не косвенное. Оставим в покое пределы. В данном случае важным является то, что все частичные суммы ряда заведомо ограничены фиксированным известныи числом. Этого вполне достаточно, чтобы усмотреть подставу в формулировке апории.

[PAV]

Уточню ответ Henrylee
Причина заблуждения в тех словах, которые я ниже выделил

enko писал(а):

т. е всякий раз между состязающимися будет оставаться отличное от нуля расстояние.

"Всякий раз" (или, что то же самое, "бесконечное число раз") не означает "бесконечное время". Представьте себе, что некоторый процесс длился секунду, а потом остановился.
В первую половину секунды он длился? - Да.
В следующую за ней четверть секунды он длился? - Да.
В следующую восьмую часть секунды он длился? - Да.
Это построение можно продолжать до бесконечности, получая бесконечную последовательность неперекрывающихся положительных временных интервалов, в течение которых процесс длился. Но так как сумма (бесконечная) всех длин этих интервалов конечна, то все эти рассуждения на самом деле проводятся только лишь внутри некоторого конечного промежутка времени (в данном случае - секунды), за который они не выходят. Причина в точности в сходящемся ряду. О том же, что происходит за пределами этого ограниченного промежутка, данное рассуждение просто ничего не говорит.

[enko]

PAV писал(а):

Уточню ответ Henrylee
Причина заблуждения в тех словах, которые я ниже выделил

enko писал(а):

т. е всякий раз между состязающимися будет оставаться отличное от нуля расстояние.

"Всякий раз" (или, что то же самое, "бесконечное число раз") не означает "бесконечное время". Представьте себе, что некоторый процесс длился секунду, а потом остановился.
В первую половину секунды он длился? - Да.
В следующую за ней четверть секунды он длился? - Да.
В следующую восьмую часть секунды он длился? - Да.
Это построение можно продолжать до бесконечности, получая бесконечную последовательность неперекрывающихся положительных временных интервалов, в течение которых процесс длился.

Так в том и вопрос, в каком из этих временных отрезков, т.е. на каком шаге деления процесс перестанет длиться?

Я читал по виду серьезные статьи где из этого парадокса делается вывод о том что есть предел деления времени. т.е. в какой-то момент интервал будет настолько мал, что событие не сможет произойти..

[PAV]

В математической модели процесс не перестанет делиться никогда. Но это ничему не мешает.

enko писал(а):

событие не сможет произойти

Какое событие не сможет произойти? Вы не имеете дела ни с какими событиями, которые должны "втиснуться" в сужающийся временной интервал. Вы имеете дело с состоянием "Ахиллес позади черепахи". В этом состоянии он находится половину секунды, затем еще четверть секунды, затем еще восьмую часть секунды,... Из всего этого можно только придти к тому, что в этом же состоянии он будет находиться в ту секунду, внутри которой мы выделяем все более маленькие кусочки. Что будет в следующую секунду - неизвестно.