Допустимый набор

[DiMath]

Доброго времени суток.

Подскажите, не могу сообразить. Назовем конечный набор неотрицательный целых чисел $H_k = \left\lbrace h_1,...,h_k \right\rbrace$ допустимым, если для любого простого $p$ найдется целое $a_p \ne h_i \pmod p $ для всех $i=\overline{1,k}$.

Вопрос такой: если я положу $h_1=0, h_2=2$, то смогу ли я гарантировано найти допустимый набор для $\forall k>2$ с наложенным условием? Сейчас, на мою уставшую голову, мне показалось, что я могу взять любое подмножество четных чисел в качестве членов набора. Где я ошибся?

Ясно, что для всех простых, начиная с некоторого номера, $h_i\in\mathbb{Z}_p$ и потому, такое число всегда найдется. Но что сделать с простыми $p<\max\limits_{i\leqslant k}{h_i}$ , чтобы увидеть ошибку в моем предположении?

[ИСН]

Проблема будет тогда, когда $h_i\pmod p$ покрывают всю поляну, не оставляя места. Для $p>k$ это невозможно, а для меньших надо смотреть.

[RIP]

Любое подмножество чётных чисел взять, разумеется, нельзя (например, если $h_3=4$, то нарушается условие для $p=3$). Однако можно взять все остальные $h_i$ делящимися на $k!$ (например), и тогда набор будет допустим.

[DiMath]

RIP Ну да, понятно. Спасибо

Выходит, чем больше k, тем сильнее условие. В смысле, любое подмножество допустимого - допустимо.