Найти решение диофантовой системы уравнений

[Коровьев]

Найти рациональное параметрическое решение системы с рациональными $a,b,c,d$

$\[ \left\{ \begin{array}{l} z^2 = \left( {x - a} \right)^2 + \left( {y - b} \right)^2 \\ \\ t^2 = \left( {x - c} \right)^2 + \left( {y - d} \right)^2 \\ \end{array} \right. \]$

[Shadow]

$\begin{cases} \dfrac{x-a}{y-b}=\dfrac{2r}{r^2-1}=u \\ \\ \dfrac{x-c}{y-d}=\dfrac{2s}{s^2-1}=v \end{cases}$

Например так, но получится нечто ужасное.

[scwec]

$x=\dfrac{r(-c{s^2}+2ds-2bs+c)+a{r^2}s-as}{(s-1)(rs+1)}$,
$y=\dfrac{r^2(-c{s^2}+a(s^2-1)+2ds+c)+c{s^2}+a(1-s^2)+br(2-2{s^2})-2ds-c}{2(s-1)(rs+1)}$
Как-то так.

[Коровьев]

Shadow в сообщении #1011686 писал(а):

Например так, но получится нечто ужасное.

Диофантовые уравнения тем и славятся, что имеют "ужасные" решения.
Но можно в самом решении и не раскрывать внутреннюю "сущность" $u$ и $v $, достаточно раскрыть её отдельно. А кому понадобится, сам раскроет в решении.
И главное.
Данное решение описывает все рациональные решения системы.
Для этого достаточно показать:
если для рациональных $a,b$ выполняется

$\[ a^2 =b^2+1 \]$

то существует такое рациональное $t$, что

$$\[ b = \frac{{2t}}{{t^2-1 }} \]$

Точно также можно решить и совсем "ужасную" систему

$$\[ \left\{ \begin{array}{l} z^2 = \left( {ax + by + c} \right)^2 + \left( {dx + ey + f} \right)^2 \\ \\ z'^2 = \left( {a'x + b'y + c'} \right)^2 + \left( {d'x + e'y + f'} \right)^2 \\ \end{array} \right. \]$

[Коровьев]

Предлагаю ещё задачу.
Найти рациональное параметрическое решение системы с рациональными $a,b,c,d$

$$ \[ \left\{ \begin{array}{l} z^2 = \left( {x - a} \right)^2 + 3\left( {y - b} \right)^2 \\ \\ t^2 = \left( {x - c} \right)^2 - 3\left( {y - d} \right)^2 \\ \end{array} \right. \] $

[scwec]

Заметив, что $1^2+3=2^2$ и проводя секущие получим:

$\dfrac{x-a}{y-b}=\pm\dfrac{m^2+6m-3}{m^2-2m-3}$
$\dfrac{x-c}{y-d}=\pm\dfrac{2n^2-6n+6}{n^2-4n+3}$.

-- Чт май 07, 2015 12:36:46 --

Коровьев в сообщении #1011725 писал(а):

Точно также можно решить и совсем "ужасную" систему....

Решите систему $x^2+y^2=m^2$, $x^2+(Nx-y)^2=n^2$, где $m,n,N$ - рациональные. Она частный случай приведенной Вами. Годится любое ненулевое рациональное решение.

[Shadow]

Когда можно разложить на множители, можно решить и совсем простыми методами. В случае $u^2-v^2=3$
$\begin{cases} \dfrac{x-a}{y-b}=\dfrac{r^2-3}{2r}\\ \\ \dfrac{x-c}{y-d}=\dfrac{s^2+3}{2s} \end{cases}$

На самом деле те же решения.

-- 07.05.2015, 12:06 --

$r=\dfrac{3-m}{m+1}$
А вот с $s$ не получается...?

[Коровьев]

scwec в сообщении #1012011 писал(а):

Решите систему $x^2+y^2=m^2$, $x^2+(Nx-y)^2=n^2$, где $m,n,N$ - рациональные. Она частный случай приведенной Вами. Годится любое ненулевое рациональное решение.

Решение приведённой мною общей задачи приводит к решению линейной системы от двух переменных $x,y$. И здесь возможны два крайних случая, полученная система однородная или определитель её равен нулю. В обеих случаях нужен частный подход к выявлению решений системы.
В Вашем примере решение приводит к однородной линейной системе

$$\[ \left\{ \begin{array}{l} x - \frac{{2r}}{{r^2 - 1}}y = 0 \\ \\ \left( {1 - N\frac{{2s}}{{s^2 - 1}}} \right)x + \frac{{2s}}{{s^2 - 1}}y = 0 \\ \end{array} \right. \]$

И решение её приводит к поиску решения уравнения в рациональных числах

$$\[ \frac{{s^2 - 1}}{{2s}} - \frac{{r^2 - 1}}{{2r}} = N \] $

Что не проще исходной системы.

[scwec]

Коровьев в сообщении #1012042 писал(а):

Что не проще исходной системы.

Понятное дело. Для того и написал, чтобы узнать, не придумали Вы чего-нибудь новенького. Оказывается нет.
А для полученного уравнения есть много интересных решений.
Известно, (и несложно доказать) что для натуральных $N$ сколь угодно больших, решения существуют.
Но мне неизвестно, существует ли такое сколь угодно большое $N$, для которого решения не существует.

[Коровьев]

scwec в сообщении #1012051 писал(а):

Понятное дело. Для того и написал, чтобы узнать, не придумали Вы чего-нибудь новенького. Оказывается нет.

А что новенького можно придумать в решении линейной системы? Разве только всунуть куда-нибудь и смотреть, что получилось.

Shadow в сообщении #1012018 писал(а):

А вот с $s$ не получается...?

Рассмотрим общую систему с рациональными коэффициентами

$\[ \left\{ \begin{array}{l} z^2 = \left( {ax + by + c} \right)^2 +m \left( {dx + ey + f} \right)^2 \\ \\ z'^2 = \left( {a'x + b'y + c'} \right)^2 + n\left( {d'x + e'y + f'} \right)^2 \\ \end{array} \right. \]$

и найдём все рациональные решения уравнений

$\[ \begin{array}{l} z^2 = u^2 + m \to u = F\left( r \right) \\ \\ z'^2 = v^2 + n \to v = F'\left( s \right) \\ \end{array} \]$

В результате получаем систему


$$ \frac{{ax + by + c}}{{dx + ey + f}} = F\left( r \right) \\ $

$$ \frac{{a'x + b'y + c'}}{{d'x + e'y + f'}} = F'\left( s \right) \\ $

которая приводит уже к линейной системе от $x,y$.
И если полученная система не однородная и определитель её не равен нулю, то система имеет одно, но двух-параметрическое решение.

В задаче, которую я привёл нужно сначала найти рациональные решения двух уравнений

$\[ \left\{ \begin{array}{l} z^2 = u^2 + 3 \\ \\ z'^2 = v^2 - 3 \\ \end{array} \right. \]$

$$\[ u = \frac{{r^2 - 4r + 1}}{{r^2 - 1}} = F\left( r \right) \] $

$$\[ v = \frac{{2\left( {s^2 + s + 1} \right)}}{{s^2 - 1}} = F'\left( s \right) \]$

и далее решать линейную систему от $x,y$

[Shadow]

Коровьев, это все понятно. Просто у одного уравнения могут быть разные параметризации в зависимости от того каким способом она решается (или, в конце концов, методом секущих через какую точку проводим секущие). Они на первый взгяд только разные, а переходят друг в друга заменой. Напр. уравнение $z^2=u^2+3$

$\\(z+u)(z-u)=3\\ z+u=m\\ z-u=\frac 3 m \\ \\z=\dfrac{m^3+3}{2m},\ u=\dfrac{m^2-3}{2m}$

Для второго уравнвения

$v=\dfrac{n^2+3}{2n}$

С вашими решения замена понятна:

Коровьев в сообщении #1012072 писал(а):

$u = \dfrac{{r^2 - 4r + 1}}{{r^2 - 1}} = F\left( r \right)$

$v = \dfrac{{2\left( {s^2 + s + 1} \right)}}{{s^2 - 1}} = F'\left( s \right)$

$m \to \dfrac{1+r}{1-r},\;n \to \dfrac{s-1}{s+1}$

Я просто не нашел замену для второго решения scwec

[scwec]

Коровьев в сообщении #1012072 писал(а):

А что новенького можно придумать в решении линейной системы? Разве только всунуть куда-нибудь и смотреть, что получилось.

Конечно, это имеет право на существование.
Но для той системы, которую я написал. можно рассмотреть эквивалентное ей уравнение эллиптической кривой $w^2=u^3+(N^2+2)u^2+u$
Это, может быть, более продуктивный подход.

[scwec]

Shadow, поменял второе выражение. Теперь должно получиться.