слабая сходимость в $\mathring{W}_2^1$, сильная в $L_2$

[nckg]

В книге Ладыженской ''Краевые задачи мат. физики'' в доказательстве существования решения задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа мне непонятен один ход.

А именно, пусть последовательность ${u_k}\in\mathring{W}_2^1(\Omega)$ сходится к $u$ слабо. Нужно доказать, что тогда $\{u_k\}$ сходится сильно в $L_2(\Omega)$.
Здесь $\Omega\in\mathbb R^n$ - ограниченная область. Скалярное произведение $[u,v]=\sum_{i=1}^n u_{x_i} v_{x_i}$.

У Ладыженской утверждается, что это следует из компактности вложения $\mathring{W}_2^1(\Omega)$ в $L_2(\Omega)$, но я не понимаю, каким образом. Если кто-то объяснит, буду благодарен!

[Gafield]

Если последовательность слабо сходится, то она ограничена. В cилу компактности вложения $\mathring{W}_2^1(\Omega)$ в $L_2(\Omega)$ последовательность $u_n$ будет предкомпактна в $L_2(\Omega)$. И стремиться она будет к $u$, поскольку если бы какая-то подпоследовательность стремилась к другой функции $v$ по норме, то она стремилась бы и слабо k $v$, что невозможно, т.к. $u_n$ сходится слабо в $L_2(\Omega)$ к $u$.

[nckg]

Спасибо, понятно!
А слабая сходимость $\{u_n\}$ в $L_2$ откуда следует?

[V.V.]

А что такое компактность вложения Вы понимаете?

[nckg]

по определению компактность вложения означает, что ограниченное множество в $\mathring{W}_2^1(\Omega)$ будет предкомпактно в $L_2$. Но как отсюда перейти к слабой сходимости, я пока не вижу...

[V.V.]

А в терминах сходимости (под)последовательностей?

[nckg]

в терминах сходимости (под)последовательностей это выглядит так:
т.к. $u_n$ ограничена в $\mathring{W}_2^1(\Omega)$, из неё можно выделить подпоследовательность $u_{n_k}$, сходящуюся в $L_2(\Omega)$.
но я как раз и не понимаю, как от подпоследовательностей перейти ко всей последовательности.

[nckg]

Мне кажется, что можно доказать слабую сходимость $u_n$ в $L_2$ следующим образом.
Рассмотрим для простоты вместо $\Omega$ интервал $(a,b)$.
У нас есть: $[u_n-u,v]\rightarrow 0$ для $\forall v \in \mathring{W}_2^1(a,b)$, в частности, для $\forall v \in \dot{C}^\infty(a,b)$ (бесконечно дифф. финитные функции). Тогда
$[u_n-u,v]=((u_n)_x-u_x,v_x)=-(u_n-u,v_{xx})$, то есть $(u_n-u,v_{xx})\rightarrow 0$, $n \rightarrow \infty$, где $(\cdot,\cdot)$ - скалярное произведение $L_2(a,b)$. Можно показать, что отсюда следует $(u_n-u,w)\rightarrow 0$ для $\forall w \in \dot{C}^\infty(a,b)$.
А $\dot{C}^\infty(a,b)$ всюду плотно в $L_2(a,b)$.
Кроме того, из неравенства Фридрихса $\|u_n-u\|_{L_2(a,b)} \le C_1\|(u_n)_x-u_x\|_{L_2(a,b)} \le C_2$, $C_1,C_2=const$.
Итак, $u_n$ сходится слабо на всюду плотном в $L_2$ множестве, и нормы $\|u_n\|$ ограниченны. А отсюда следует слабая сходимость в $L_2$ (если я нигде не ошибся:)).

Но может быть есть более простое доказательство?