Планиметрия.

[Charlz_Klug]

Условие:
Параллелограмм $ABCD$ имеет площадь $4$. Окружность с центром в точке $O$, расположенной на отрезке $AD$, касается отрезков $AB$, $BC$ и прямой $CD$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Найти радиус этой окружности и стороны параллелограмма $ABCD$, если $\frac{CK}{BM}=\frac{3}{1}$.

Источник: http://www.itmathrepetitor.ru/matematik ... nykh-eh-2/

Пожалуйста, проверьте решение. Я ничего не упустил?

Решение:

Поскольку $\frac{CK}{BM}=\frac{3}{1}$, делаем вывод что $CK = 3 \cdot BM$. Далее, $CN = CK$ как исходящие из одной точки и касающиеся окружности. $BN = BM$ как исходящие из одной точки и касающиеся окружности. Обозначим $BN = BM = a$. Тогда $BC = BN + NC = BN + 3 \cdot BN = 4 \cdot BN = 4a$. По условию отрезок $ON$ является радиусом окружности и, поскольку этот отрезок перпендикулярен $BC$, высотой параллелограмма $ABCD$. Площадь параллелограмма $ABCD$ вычисляется по формуле $S_{ABCD} = ON \cdot BC$, обозначим радиус окружности через $r$, отсюда $r \cdot 4a = 4 \Rightarrow r \cdot a = 1 \Rightarrow r = \frac{1}{a}$. Поскольку $AB \parallel CK$, то $MK$ является диагональю окружности, отрезок $AD$ проходит через центр окружности и соответственно делится пополам точкой $O$, следовательно, $AO = OD = 2a$. Отрезок $AB$ перпендикулярен $OM=r$, отсюда $AM = \sqrt{AO^2 - OM^2} = \sqrt{(2a)^2 - (\frac{1}{a})^2} = \sqrt{4a^2 - \frac{1}{a^2}} = \sqrt{\frac{4a^4 - 1}{a^2}} = \frac{\sqrt{4a^4 - 1}}{a}$. Рассмотрим, чему равен синус угла $A$: $\sin{\angle OAM} = \frac{OM}{AO} = \frac{r}{2a} = \frac{\frac{1}{a}}{2a} = \frac{1}{2a^2}$. Длина отрезка $AB = AM + MB = \frac{\sqrt{4a^4 - 1}}{a} + a = \frac{\sqrt{4a^4 - 1} + a^2}{a}$. Площадь параллелограмма $ABCD$ можно вычислить по формуле $S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin{\angle DAM} = AB \cdot AD \cdot \sin{\angle OAM} \Rightarrow $
$4 = \frac{\sqrt{4a^4 -1}}{a} \cdot 4a \cdot \frac{1}{2a^2} \Rightarrow \frac{\sqrt{4a^4 - 1} + a^2}{a^2} = 2 \Rightarrow$
$ \sqrt{4a^4 -1} + a^2 = 2a^2 \Rightarrow \sqrt{4a^4 - 1} = a^2 \Rightarrow$
$4a^4 -1 = a^4 \Rightarrow 3a^4 = 1 \Rightarrow a^4 = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$. Отсюда радиус равен $r = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt[4]{3}}} = \sqrt[4]{3}$, сторона $CB = 4a = \frac{4}{\sqrt[4]{3}}$, сторона $AB = \frac{\sqrt{4a^4 - 1} + a^2}{a} = \frac{\sqrt{4 \cdot \frac{1}{3} - 1} + \frac{1}{\sqrt{3}} }{\frac{1}{\sqrt[4]{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt[4]{3}}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt[4]{3}}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt[4]{3}}{1} = \frac{2}{\sqrt[4]{3}}$

[grizzly]

Charlz_Klug в сообщении #1011678 писал(а):

Я ничего не упустил?

Вот это нужно обосновать:

Charlz_Klug в сообщении #1011678 писал(а):

отрезок $AD$ проходит через центр окружности и соответственно делится пополам точкой $O$

А то Вы более простые места расписываете, а здесь не стали.

Дальнейшее всё слишком сложно для такой (относительно) простой задачи, хотя ответ, похоже, правильный. Посмотрите на треугольники $BNO$ и $ONC$. Найдите отсюда выражение для радиуса и подставьте в формулу площади. Найдёте $a$. Это сделает решение раза в два короче и раза в три проще.

[ewert]

Charlz_Klug в сообщении #1011678 писал(а):

Отсюда радиус равен $r = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt[4]{3}}} = \sqrt[4]{3}$

Это правда, но слишком долго: синусы тут вообще не при чём, достаточно того, что $\frac{a}{r}=\frac{r}{3a}$ из подобия соответствующих прямоугольных треугольников. И сторона $AB$ ровно вдвое меньше, чем $BC$, по гораздо более тривиальной причине: просто потому, что удвоенный радиус -- это высота параллелограмма, опущенная на $AB$.

[Charlz_Klug]

grizzly в сообщении #1011687 писал(а):

Вот это нужно обосновать:

Charlz_Klug в сообщении #1011678 писал(а):

отрезок $AD$ проходит через центр окружности и соответственно делится пополам точкой $O$

А то Вы более простые места расписываете, а здесь не стали.

Попытаюсь обосновать. Получается такой рисунок:

Здесь $t$ и $w$ - параллельные прямые. Между ними вписана окружность, касающееся этих прямых. Центр окружности обозначен точкой $O$. Таким образом, диаметр окружности $MK$ является расстоянием между параллельными прямыми и, поскольку диаметр, делится точкой $O$ на два равных отрезка-радиуса $MO$ и $OK$. Возьмём на прямой $t$ точку $A$ и проведём от неё отрезок до точки $O$ и продолжим дальше до пересечения прямой $w$. Угол $OMA$ равен углу $OKD$ и составляет $90^{\circ}$. Углы $AOM$ и $KOD$ - вертикальные, следовательно, равны. Отрезок $MO$ равен отрезку $OK$. По второму признаку равенства треугольников (сторона треугольника и два прилежащих угла) треугольник $\bigtriangleup AMO$ равен треугольнику $\bigtriangleup DKO$, поскольку $MO = OK$, $\angle AOM = \angle DOK$ и $\angle AMO = \angle OKD$. Значит, отрезки $AO$ и $OD$ равны. Следовательно, $AD$ делится точкой $O$ пополам.

grizzly в сообщении #1011687 писал(а):

Дальнейшее всё слишком сложно для такой (относительно) простой задачи, хотя ответ, похоже, правильный. Посмотрите на треугольники $BNO$ и $ONC$. Найдите отсюда выражение для радиуса и подставьте в формулу площади. Найдёте $a$. Это сделает решение раза в два короче и раза в три проще.

Сейчас попробую. Получается такой рисунок:

Поскольку мы имеем дело с параллелограммом, то $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$. Обозначим $\angle ABC = 2 \alpha$, а $\angle BCD = 2 \beta$. Получаем $2 \alpha + 2 \beta = 180^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 90^\circ \Rightarrow \beta = 90^\circ - \alpha$. Отрезок $BO$ является биссектрисой и делит $\angle ABC$ пополам, отсюда $\angle CBO = \alpha$, отрезок $CO$ является биссектрисой и делит $\angle BCD$ пополам, отсюда $\angle BCO = \beta$. Теперь из прямоугольного треуголькника $BNO$: $\tg{\alpha} = \frac{ON}{BN}$. Из прямоугольного треугольника $CNO$: $\tg{\beta} = \frac{ON}{NC} \Rightarrow \tg{(90^\circ - \alpha)} = \frac{ON}{NC} \Rightarrow \ctg{\alpha} = \frac{ON}{NC} \Rightarrow \frac{1}{\tg{\alpha}} = \frac{ON}{NC} \Rightarrow $.
$\tg{\alpha} = \frac{NC}{ON}$
Таким образом $\frac{ON}{BN} = \frac{NC}{ON} \Rightarrow {ON}^2 = BN \cdot NC \Rightarrow ON = \sqrt{BN \cdot NC} \Rightarrow$
$r = \sqrt{a \cdot 3a} \Rightarrow r = a \sqrt{3}$
Подставляем в формулу площади трапеции $S_{ABCD} = ON \cdot BC \Rightarrow 4 = a \sqrt{3} \cdot 4 a \Rightarrow a = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$. Сторона $BC = 4a \Rightarrow BC = \frac{4}{\sqrt[4]{3}}$, радиус $r = a \sqrt{3} = \sqrt[4]{3}$. Длина отрезка $AM = \sqrt{AO^2 - OM^2} = \sqrt{({\frac{2}{\sqrt[4]{3}})}^2 - {(\sqrt[4]{3})}^2} = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$. Длина $AB = AM + MB = \frac{1}{\sqrt[4]{3}} + \frac{1}{\sqrt[4]{3}} = \frac{2}{\sqrt[4]{3}}$. Да, получилось короче.

ewert в сообщении #1011688 писал(а):

Это правда, но слишком долго: синусы тут вообще не при чём, достаточно того, что $\frac{a}{r}=\frac{r}{3a}$ из подобия соответствующих прямоугольных треугольников. И сторона $AB$ ровно вдвое меньше, чем $BC$, по гораздо более тривиальной причине: просто потому, что удвоенный радиус -- это высота параллелограмма, опущенная на $AB$.

То есть, $\bigtriangleup BNO \sim \bigtriangleup ONC \Rightarrow \frac{BN}{ON} = \frac{ON}{NC} \Rightarrow \frac{a}{r} = \frac{r}{3a} \Rightarrow r = a \sqrt{3}$. И $BC \cdot r = AB \cdot 2r \Rightarrow BC = 2\cdot AB$. Спасибо grizzly и ewert - стало понятно. Но я просто поражаюсь: откуда у вас столько фантазии чтобы подметить эти действительно простые, но крайне незаметные для меня факты?

[grizzly]

Charlz_Klug в сообщении #1011772 писал(а):

чтобы подметить эти действительно простые, но крайне незаметные для меня факты?

Во-первых, конечно, это чутьё, которое базируется на опыте. Но не только. Всё же у Вас есть определённый багаж знаний, которым Вы умеете пользоваться достаточно аккуратно. Но -- и это во-вторых, -- Ваши знания пока недостаточно структурированы. Вы берёте первое попавшееся из них и умело распутываете узел, сперва запутав его до безобразия

Вот пример: Вы ведь знаете, что равенство углов означает подобие треугольников. А подобие означает, что отношения соответствующих сторон равны. А значит, после Вашего же вычисления углов сразу можем сказать, что $\dfrac{ON}{BN} = \dfrac{NC}{ON}$. Зачем же обходить десятой дорогой?

-- 06.05.2015, 18:22 --

Сорри, это я отвечал, дочитав только часть сообщения, которая касалась моих замечаний. Тогда немного странно, что Вы по-разному ответили мне и ewert. Конечно же, я тоже говорил о подобии, предлагая рассмотреть эти треугольники

[Charlz_Klug]

grizzly в сообщении #1011784 писал(а):

Вот пример: Вы ведь знаете, что равенство углов означает подобие треугольников. А подобие означает, что отношения соответствующих сторон равны. А значит, после Вашего же вычисления углов сразу можем сказать, что $\dfrac{ON}{BN} = \dfrac{NC}{ON}$. Зачем же обходить десятой дорогой?

Не знаю почему, но мне как-то сложно видеть картину в целом и сложно определить путь наименьшего сопротивления. Вижу деревья - но как то упускаю леса, стоящего за деревьями. И да, ломлюсь по первому пути, который пришёл на ум, упуская возможные менее трудные пути. Как говорил мне преподаватель по математике: Вы держите правой рукой левое ухо, а удобнее держать левое ухо левой рукой. Буду работать дальше над этим.

grizzly в сообщении #1011784 писал(а):

Сорри, это я отвечал, дочитав только часть сообщения, которая касалась моих замечаний. Тогда немного странно, что Вы по-разному ответили мне и ewert. Конечно же, я тоже говорил о подобии, предлагая рассмотреть эти треугольники

Предпоследняя тема, которую я прорабатывал - это применение тригонометрии в геометрических задачах. Привык сводить к тригонометрии. А ewert конкретно дал направление на подобие.

[grizzly]

Charlz_Klug в сообщении #1011790 писал(а):

мне как-то сложно видеть картину в целом и сложно определить путь наименьшего сопротивления.

Вы умеете рассуждать; Вы умеете признавать свои ошибки (я помню по другим темам); Вы умеете делать выводы из допущенных ошибок и обучаться. У Вас есть настойчивость в стремлении разобраться. Это полный джентльменский набор для успешного обучения.

Хорошо бы как-то побороться с той проблемой, которую Вы описываете и осознаёте.

(Оффтоп)

В этом Вам мог бы помочь любой человек с опытом / чутьём педагога или наставника, но лучше бы знающий Вас лично. Стандартный в этом случае совет -- потренироваться на каких-то занимательных задачах, потому что для их решения приходится рассматривать задачу со всех сторон. Только для прокачки навыка не нужно браться за сложные задачи олимпиадного уровня, лучше наоборот -- начинать с чего-то попроще.

[Charlz_Klug]

grizzly в сообщении #1011796 писал(а):

(Оффтоп)

В этом Вам мог бы помочь любой человек с опытом / чутьём педагога или наставника, но лучше бы знающий Вас лично. Стандартный в этом случае совет -- потренироваться на каких-то занимательных задачах, потому что для их решения приходится рассматривать задачу со всех сторон. Только для прокачки навыка не нужно браться за сложные задачи олимпиадного уровня, лучше наоборот -- начинать с чего-то попроще.

(Оффтоп)

Спасибо, возьму на заметку.

[ewert]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1011784 писал(а):

Тогда немного странно, что Вы по-разному ответили мне и ewert. Конечно же, я тоже говорил о подобии, предлагая рассмотреть эти треугольники

Просто Вы указали на некие конкретные треугольники (не говоря, зачем); я же, напротив, намекнул на подобие вообще чего-нибудь полезного (не говоря, чего именно). По совокупности в голове у ТС некоторая мозаика и сложилась. Я не нарочно, между прочим: долго набирал, пока то-сё, а когда увидел, что в какой-то части Вас дублирую -- стирать уже не захотелось тоже по совокупности.

-- Чт май 07, 2015 00:13:39 --

Charlz_Klug в сообщении #1011790 писал(а):

А ewert конкретно дал направление на подобие.

Вот тут как раз есть некий общий принцип, вдолблённый в меня уже с очень давно прошедшего детства и дальнейшим опытом никак не опровергнутый. Не знаешь, что делать -- начинай с примитива, авось повезёт; не выйдет -- ну только тогда и пробуй какие-нибудь продвинутости. В данном случае примитив -- это именно подобия, от них и следовало плясать, от синусов же -- разве лишь с отчаяния.

Да, а почему именно подобия должны были бросаться в глаза: уж больно много там всяких откровенных подобностей из-за всяких биссектрис вкупе с параллельностями. Тут уж сам бог велел над этим призадуматься.

[Charlz_Klug]

ewert в сообщении #1011905 писал(а):

Вот тут как раз есть некий общий принцип, вдолблённый в меня уже с очень давно прошедшего детства и дальнейшим опытом никак не опровергнутый. Не знаешь, что делать -- начинай с примитива, авось повезёт; не выйдет -- ну только тогда и пробуй какие-нибудь продвинутости. В данном случае примитив -- это именно подобия, от них и следовало плясать, от синусов же -- разве лишь с отчаяния.

Спасибо за науку! Возьму на вооружение.

ewert в сообщении #1011905 писал(а):

Да, а почему именно подобия должны были бросаться в глаза: уж больно много там всяких откровенных подобностей из-за всяких биссектрис вкупе с параллельностями. Тут уж сам бог велел над этим призадуматься.

Увы, не смог слона приметить.

[Батороев]

Charlz_Klug в сообщении #1011907 писал(а):

[Увы, не смог слона приметить.

Еще одним из "слонов" могло бы послужить знание свойств описанных четырехугольников.
Т.к. параллелограмм в данной задаче является половиной такого четырехугольника, то легко доказывается то, что $\Delta ABO$ - равносторонний (со всеми вытекающими из этого последствиями).