Манипулирование коээффициентами производной

[jrMTH]

Читаю книжку по дифференциальным уравнениям.

Там дают такое уравнение

$\frac{dx}{dt}= -kx$

Потом говорят: наша задача из этого уравнения получить закон, который бы выражал отношения между переменной x и t. Чтобы это сделать, мы умножаем это уравнение на $\frac{dt}{x}$ и получаем $\frac{dx}{x} = -kdt$.

У меня вопрос как можно вообще сокращать коэффициенты производных при умножении, ведь $\frac{dx}{dt}$, как я понимаю, не является делением dx на dt, а просто выражает производную. т.е. разве можно относится к производным как к числам в арифметике при делении и умножении и сокращать элементы дроби?

[Lia]

Переоформите формулы, пожалуйста. Каждая формула должна находиться внутри пары долларов по краям, в середине доллары нужно убрать.

[Brukvalub]

Вы читаете "неправильную книгу". Возьмите в руки солидный учебник по дифурам, например, учебник Филлипова, и вы узнаете правильное объяснение принципа разделения переменных в оду.

[jrMTH]

Brukvalub в сообщении #1011406 писал(а):

Вы читаете "неправильную книгу". Возьмите в руки солидный учебник по дифурам, например, учебник Филлипова, и вы узнаете правильное объяснение принципа разделения переменных в оду.

я читаю вот эту книгу
http://www.amazon.com/Ordinary-Differential-Equations-Dover-Mathematics/dp/0486649407

вроде очень известная

[Nemiroff]

jrMTH в сообщении #1011402 писал(а):

разве можно относится к производным как к числам в арифметике при делении и умножении и сокращать элементы дроби?

Carl G. Adler в Does mass really depend on velocity, dad писал(а):

"Папа, а масса действительно зависит от скорости?"
"Нет! Впрочем, да… На самом деле нет, но не говори это своему учителю."
На следующий день сын забросил физику.

Можно. Но не потому что можно, а потому что так нужно.
Конкретно в вашем случае даже не криминально особо. Делите обе части на $x$, а потом интегрируете по $t$.

Поиск по форуму на "что такое дифференциал", "как представить дифференциал" и тому подобные опусы.

[Brukvalub]

jrMTH в сообщении #1011402 писал(а):

Читаю книжку по дифференциальным уравнениям.

Там дают такое уравнение

$\frac{dx}{dt}= -kx$

Потом говорят: наша задача из этого уравнения получить закон, который бы выражал отношения между переменной x и t. Чтобы это сделать, мы умножаем это уравнение на $\frac{dt}{x}$ и получаем $\frac{dx}{x} = -kdt$.
...

Я эту книгу не читал, но, возможно, в ней объясняют, что дифференциал $dx$ искомой функции $x(t)$ равен $\frac{dx}{dt}\cdot dt$, после чего все становится корректным?

[Someone]

Brukvalub в сообщении #1011418 писал(а):

возможно, в ней объясняют, что дифференциал $dx$ искомой функции $x(t)$ равен $\frac{dx}{dt}\cdot dt$

Возможно, и не объясняют, а молча предполагают, что читатель книги усвоил формулу $dy=y'dx$ из курса математического анализа.

[jrMTH]

я все понял, спасибо