Неравенство Рао - Крамера

[oxana1234]

Мне нужно показать, что выполняется неравенство Рао - Крамера. Я нашла эффективную оценку и параметрическую функцию двумя способами - используя критерии Рао - Крамера и используя свойства экспоненциальной модели.
Но когда я пытаюсь доказать, что неравенство Рао-Крамера превращается в равенство при данной эффективной оценке и параметрической функции то не получается.
Вот все, что я посчитала.

$$ f(x, \theta)=\begin{cases} \sqrt{ \theta} \cdot x^{\sqrt{ \theta}-1},&\text{если $0<x<1$;}\\ 0,&\text{если $x<0$.} \end{cases} $$

$\tau( \theta) = \frac{-1}{\sqrt{ \theta}}$

$T(\zeta) = \frac{\sum^{m}_{i=1}\ln(\xi_i)} {m}$

$M(\ln(\xi_1)) = \frac{-1} {\sqrt{ \theta} - 2}$

$M(\ln^2(\xi_1)) = \frac{2} {(\sqrt{ \theta} - 2)\cdot (\sqrt{ \theta} - 4)}$

$D(T) = \frac{\sqrt{ \theta}} {m \cdot (\sqrt{ \theta} - 4) \cdot (\sqrt{ \theta} - 2)^2 }$

$\frac{(\tau'( \theta))^2} {m \cdot i{ \theta} } = \frac{(\sqrt{ \theta} - 2)} { \theta \cdot m \cdot (\sqrt{ \theta} - 4) } $

Должно быть равенство $D(T) = \frac{(\tau'( \theta))^2} {m \cdot i{ \theta} } $

[--mS--]

А давайте Вы сформулируете исходную задачу понятнее? Зачем Вы хотите работать с оценкой, которая даже не состоятельна?

oxana1234 в сообщении #1011127 писал(а):

$M(\ln(\xi_1)) = \frac{-1} {\sqrt{ \theta} - 2}$
$M(\ln^2(\xi_1)) = \frac{2} {(\sqrt{ \theta} - 2)\cdot (\sqrt{ \theta} - 4)}$
$D(T) = \frac{\sqrt{ \theta}} {m \cdot (\sqrt{ \theta} - 4) \cdot (\sqrt{ \theta} - 2)^2 }$

Ни то, ни другое, ни третье неверно. Найдите распределение $-\ln \xi_i$ и убедитесь.

[oxana1234]

--mS--

Цитата:

А давайте Вы сформулируете исходную задачу понятнее?

Это формулирование задачи из книги:
Пусть выборка $\zeta = (\xi_1, ... ,\xi_n)$ из $L(\xi)$, $f(x, \theta)$ - плотность распределения $\xi$ в абсолютно непрерывном случае или вероятность $(f(x, \theta) = P_\theta (\xi=x))$ в дискретном случае . Найти эффективную оценку $T(\zeta)$ и параметрическую функцию $\tau( \theta)$, для которой она существует , тремя способами , используя критерий Рао - Крамера , неравенство Рао - Крамера и свойства експоненциальной модели . Неизвестный параметр обозначен через $\theta$

Я нахожу эффективную оценку и параметрическую функцию. А позже применяю неравенство Рао - Крамера для того чтобы показать , что $T(\zeta)$ является эффективной оценкой параметрической функции $\tau( \theta)$ в данной модели

-- 04.05.2015, 20:52 --

$f(x, \theta)=\sqrt{ \theta} \cdot x^{\sqrt{ \theta}-1}$
$\ln f(x, \theta)=\ln\sqrt{ \theta} + {\sqrt{ \theta}-1} \cdot \ln(\xi)$
$ \frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f(x, \theta)=\frac{-1}{2 \cdot \theta^2} - \frac{1}{4 \cdot \theta^\frac{3}{2}} $\
$ i({ \theta}) = -M\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f(x, \theta)=\frac{1}{2 \cdot \theta^2} + \frac{1}{4 \cdot \theta^\frac{3}{2}} \cdot Mln(\xi) $
$M(\ln(\xi)) = $$\int_{0}^{ 1} \ln(x) \cdot \sqrt{ \theta} \cdot x^{\sqrt{ \theta}-1} dx$$ = \frac{-1} {\sqrt{ \theta} - 2}$

Цитата:

Ни то, ни другое, ни третье неверно. Найдите распределение $-\ln \xi_i$ и убедитесь.

Не понимаю

[--mS--]

Условие стало понятно. Кроме фразы "найти эффективную оценку, используя критерий (ещё хуже - неравенство) Р.-К.". Ну, спишем это на мою необразованность.

Что конкретно не понимаете? Математическое ожидание, второй момент и дисперсия логарифма вычислены неверно. Найдите распределение этой величины и сразу увидите, что неверно. Не знаю, как ещё можно это сформулировать