Слабосильная сходимость

[AGu]

Пусть последовательность элементов $x_n$ нормированного пространства сходится к нулю по норме, а последовательность ограниченных линейных функционалов $f_n$ сходится к нулю слабо*. Следует ли отсюда, что $f_n(x_n)\to0$ ?

[NSKuber]

Я сегодня уже слишком много Ваших задач нарешал, да и подобные вопросы не так давно изучал, поэтому под спойлер, иначе нечестно по отношению к остальным участникам

(Оффтоп)

Да для банаховых пространств, нет иначе.
В случае банаховости пространства, из слабой* сходимости функционалов по принципу равномерной ограниченности получаем равномерную их ограниченность, то есть $\forall n \|f_n\|<C$ для некоторой $C>0$. Тогда
$|f_n(x_n)|\leqslant \|f_n\| \|x_n\| \leqslant C\|x_n\| \to 0$
В случае небанаховости это может нарушаться. Возьмём, к примеру, пространство всех зануляющихся последовательностей, а в нём:
$x_n=\frac{1}{n} e_n$, где $e_n$ - орты, $f_n(x)=nx(n)$. Векторы сходятся к нулю по норме, функционалы - к нулю слабо*, но $f_n(x_n)=1$.

[AGu]

NSKuber, все правильно. Поздравляю.

(Оффтоп)

В своем примере Вы забыли снабдить пространство подходящей нормой, но это ерунда: и так понятно, что годится почти любая норма — например, $\|{\cdot}\|_p$, $1\leqslant p\leqslant\infty$.

А еще Вы говорите, что у Вас, якобы, вектора сходятся. Это неправда. Вектора не сходятся. Сходятся векторы.

[NSKuber]

AGu

(Оффтоп)

А ещё там у меня где-то модуля обнуляются
Спасибо.