элементарное тригонометрическое неравенство

[sergei1961]

Справедливо неравенство $n\in\mathbb{N}, x_k\in\mathbb{R}$

$$ \sin^2\left(\sum_{k=1}^{n}x_k\right) \le n \sum_{k=1}^{n} {\sin^2(x_k)}. $$

Знаю доказательство, использующее известное неравенство для синусов, без квадратов.
Само неравенство возникло при подготовке работы по неравенствам для характеристических функций.

1. Ищутся элементарные красивые доказательства. Особенно использующие выпуклость, неравенства Иенсена для синуса смотрят или в другую сторону, или дают лишние множители, к тому же требуют ограничений на величины, а тут их нет.

2. Ищется готовая ссылка.

[ex-math]

Из-за $n $ в правой части оно выглядит довольно слабым. Я бы попробовал перейти к косинусам двойных углов, с ними должно быть проще.

[sergei1961]

Для равных икс получаем $|\sin(nx)| \le n|\sin x|.$
Классическое неравенство, точное в нуле, сильнее таких простых нет. Для двух чисел это неслабое неравенство Коши-Буняковского.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1010629 писал(а):

1. Ищутся элементарные красивые доказательства.

Неравенство Коши-Буняковского трудно назвать неэлементарным. А оно даёт этот результат мгновенно.

[ex-math]

sergei1961
Да, для малых $x$ точное, действительно. А если не для малых, то практически бессмысленное, как и $|\sin x|\leqslant x$.

ewert в сообщении #1010695 писал(а):

оно даёт этот результат мгновенно

Поясните, пожалуйста.

[ShMaxG]

Неравенство Коши-Буняковского позволяет сразу доказать неравенство

$${{{\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\sin {x_k}} } \right)}^2} \le n\sum\limits_{k = 1}^n {{{\sin }^2}{x_k}} }.$$

А неравенство

$${\sin ^2}\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{x_k}} } \right) \le {\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\sin {x_k}} } \right)^2}$$

тоже доказывается сравнительно легко, например через мат. индукцию. Впрочем, может ewert имеет ввиду несколько иное (более "мгновенное") применение неравенства Коши-Буняковского.

ex-math
Я только не понял, почему Вы утверждаете, что

ex-math в сообщении #1010706 писал(а):

если не для малых, то практически бессмысленное

ведь правые части не обязаны расти в бесконечность, так как выбор иксов в точках $0,\pi,2\pi,...$ приводит к нулевым значениям левой и правой части.

[ex-math]

ShMaxG
Ну это довольно редкая ситуация. В среднем правая часть будет иметь порядок $n^2$.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #1010710 писал(а):

может ewert имеет ввиду несколько иное (более "мгновенное") применение неравенства Коши-Буняковского.

Нет, я имел в виду ровно это же, только записанное в одну строчку:

$$\left(\sin\sum x_i\right)^2\leqslant\left(\sum1\cdot|\sin x_i|\right)^2\leqslant\left(\sum1^2\right)\cdot\left(\sum\sin^2x_1\right).$$

Первый переход верен, конечно, идейно в силу выпуклости, однако технически -- безусловно по индукции (и тоже в одну строчку). А вот дальше нужен именно Коши-Буняковский и ничто иное. Т.е. можно, конечно, попытаться доказывать по индукции непосредственно неравенство с квадратами, и даже не исключено, что получится, но это будет явным извращением.

[sergei1961]

Так я и доказывал, вместо К-Б можно неравенство между средним арифметическим и квадратичным, что одно и то же.
А связь с выпуклостью в первом неравенстве мне непонятна, что оно легко доказывается по индукции-конечно так.

[ShMaxG]

ex-math в сообщении #1010712 писал(а):

Ну это довольно редкая ситуация. В среднем правая часть будет иметь порядок $n^2$.

Ну понятно. Но так как одно только среднее правой части ничего не решает (важен еще разброс ее значений, т.е. дисперсия), то я решил обосновать этот момент более строго. Пусть $x_k$ одинаково и независимо распределены на $\mathbb{R}$. Тогда существуют мат. ожидание $\[{\bf{E}}{\sin ^2}{x_k} = \mu \]$ и дисперсия $\[{\bf{D}}{\sin ^2}{x_k} = {\sigma ^2}\]$. Пусть только $\mu > 0$, $\sigma > 0$.

Далее, по закону больших чисел $\[n\sum\limits_{k = 1}^n {{{\sin }^2}{x_k}} \]$ будет приближенно распределено как $\[N\left( n^2 \mu, n^3 \sigma^2 \right)\]$. Отсюда непосредственно

$${\bf{P}}\left( {n\sum\limits_{k = 1}^n {{{\sin }^2}{x_k}} < 1} \right) \approx \Phi \left( { - \frac{\mu}{\sigma} \sqrt {n} } \right), \text{ где} \ \Phi \left( x \right) = \int\limits_{ - \infty }^x {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\exp \left( { - {{{t^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{x^2}} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \right)dt.} $$

Так что действительно, при больших $n$, правая часть неравенства "почти всегда" больше 1.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1010729 писал(а):

А связь с выпуклостью в первом неравенстве мне непонятна,

В содержательном случае -- когда все иксы положительны и их сумма не слишком велика -- это ровно выпуклость и есть.

[sergei1961]

Если под выпуклостью Вы понимаете вогнутость синуса в 1-2 четвертях, то неравенство Иенсена для него направлено в другую сторону и содержит лишние множители, как не переобозначай углы, о чём я написал в начале. Поэтому связь с выпуклостью я пока не вижу.

Кстати, при заменах $x_k=\frac{\pi}{2}-y_k$ получаются симпатичные дополнительные неравенства, для чётного и нечётного числа слагаемых несколько разные.

[Руст]

Это неравенство не верно.
Возьмите $x_i=x$ при малом х получите
$n^2x^2\le nx^2$ или $n^2\le n$.
Ошибся.
Вообще это неравенство типа $f(\sum x_i)\le n\sum f(x_i)$ и доказывается используя выпуклость.

[sergei1961]

Руст-значит всё-таки верно?
Связь написанного Вами последнего неравенства с выпуклостью я не вижу. Ещё раз-в них разные множители, зависяшие от $n$.
Неравенство выпуклости в нашем случае имеет вид

$$ f(\sum x_k)\le \frac{1}{n}\sum f(nx_k). $$

Я не вижу общего у этого неравенства с нужным, извините, о чём написал с самого начала. Да и для выпуклости-вогнутости нужны для синуса конкретные промежутки, а плюс приведённого неравенства, что оно верно без ограничений.

[Руст]

Доказать можно так. Заметим, что можем считать, что все $0\le x_i\le \pi/2$ (можно привести по каждой переменной по периоду, отражать относительно $\pi$).
Далее, достаточно рассмотреть случай, когда $\sum_i x_i\le \pi/2$.
Представим $f(x)=\sin^2x=x^2g(x), g(x)=(\frac{\sin x}{x})^2$.
Так как $g(x)$ в интервале $(0,\pi/2)$ убывает $g(\sum_i x_i)\le g(max_i x_i)\le g(x_j)$ достаточно доказать, что
$(\sum_i x_i)^2\le n \sum_i x_i^2$, что известно как средне квадратичное не меньше средне арифметического.